Побудова проекцій геометричних тіл

Перш ніж приступити до побудови проекцій геометричних тіл, ознайомимося зі способами знаходження проекцій точок, розташованих на поверхнях багатогранників і тіл обертання Перш ніж приступити до побудови проекцій геометричних тіл, ознайомимося зі способами знаходження проекцій точок, розташованих на поверхнях багатогранників і тіл обертання.

Знаходження проекцій окремих точок, розташованих на поверхні тіл, розглянемо на трьох найпростіших геометричних формах: піраміді, конусі і кулі. Знаходження горизонтальних проекцій точок при заданих вертикальних їх проекціях розглянемо одночасно для піраміди і конуса.

Нехай піраміда і конус (фіг. 119, а, б) дані двома своїми проекціями, а точки А і В, що лежать на поверхнях цих тіл, задані своїми вертикальними проекціями а 'і b'. Потрібно знайти горизонтальні і профільні проекції цих точок.

Такі завдання можна вирішувати таким способом: на поверхні тіл через задану точку і вершину фігури проводиться пряма лінія і потім будуються проекції цієї прямої. Шукана горизонтальна проекція точки буде лежати на горизонтальній проекції прямої. На фіг. 119, а і 119, б через точку b 'проведена вертикальна проекція s'k' допоміжної прямої лінії SK. Як видно, вертикальної проекції s'k 'відповідає горизонтальна проекція sk, що дозволяє побудувати горизонтальну проекцію точки В. Після цього легко побудувати профільну проекцію точки b' '.

Щоб побудувати горизонтальну проекцію точки А для піраміди, немає необхідності будувати допоміжну пряму, так як точка А за завданням лежить на ребрі S2. При наявності профільної проекції піраміди легко побудувати профільну проекцію а "точки А на профільній проекції ребра S2 і по ній побудувати горизонтальну проекцію а. Якщо профільної проекції на кресленні немає, треба використовувати таке основне положення нарисної геометрії: якщо точка а '

ділить відрізок s'2 'щодо s'a' / a'2 '= m / n, то і на горізонтальноі проекції буде sa / a2 = m / n. Обчисливши по вертикальній проекції ставлення ™, можна легко знайти горизонтальну проекцію точки А на S2.

Це завдання може бути вирішена способом січних площин, що є загальним для будь-якої просторової форми. Якщо провести через вертикальну проекцію точки А січну горизонтальну площину P, то вона перетне піраміду по трикутнику, подібного трикутника підстави (фіг. 119, а), a конус або куля (фіг. 119, б і 120) - по колу. В цьому випадку трикутник і коло перетину проектуються на горизонтальну площину в натуральну величину. Горизонтальні проекції точки A розташовані одночасно на перпендикулярах до осі ОХ, опущених з відповідних вертикальних проекцій точки A.

При виконанні вправ по проекційному кресленню доводиться досить часто вирішувати завдання на побудову ліній перетину один з одним двох поверхонь. Для виконання цих побудов необхідно вміти знаходити точки входу і виходу прямих, які перетинають задані поверхні. Розглянемо це побудова на прикладах.

Нехай дано проекції піраміди, конуса, кулі та прямі EF і MN, що перетинають ці тіла. Пряма EF перпендикулярна до площини V, а пряма MN-до площини W (фіг. 121, а, б, в). Потрібно побудувати точки входу і виходу прямих, що перетинаються з заданими поверхнями.

Проводимо через прямі EF і MN горизонтальні січні площині: через пряму EF-площину P, а через пряму MN-площину Q. Ці площини утворюють на горизонтальній площині проекцій піраміди і конуса в перерізі фігури, подібні їх основи, а для шара- коло. Точки перетину прямих з контурами перетину і будуть іскомимй точками входу і виходу: для прямої EF-точки А і С, а для прямої MN-точки К і L.

Якщо пряма перетинає поверхню кулі, піраміди або конуса перпендикулярна до площини Н, то в цьому випадку проводять через задану пряму фронтальну площину. З метою спрощення побудов для піраміди і конуса пол'зуются горизонтально-яка проектує площиною, яка повинна неодмінно проходити через вершину фігури.

Побудувавши потім на вертикальній площині проекцій, відповідно січної площини, контури перетину, знаходять точки входу і виходу.

Побудувавши потім на вертикальній площині проекцій, відповідно січної площини, контури перетину, знаходять точки входу і виходу

Приклади розв'язання задач на побудову проекцій фігур

Приклад 1. На фіг. 122 дано три проекції п'ятикутної усіченої піраміди з відкритим вирізом, утвореним декількома січними площинами. Перетином цих площин утворено на поверхні піраміди ряд характерних точок: С, D, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, В і А, які на вертикальній площині проекцій відзначені відповідно: c ', d', 1 ', 2', 3 ', 4', 5 ', 6', 7 ', 8', b 'і a'. Потрібно побудувати горизонтальні і профільні проекції цих точок.

Проекції точок А, В, С і D можуть бути легко визначені, так як вони розташовані на ребрах піраміди. Визначимо, для прикладу, горизонтальну проекцію точки С, що лежить на ребрі MN. Для цього проведемо з точки з 'проектує лінію до перетину з горизонтальною проекцією ребра MN і визначимо таким чином горизонтальну проекцію з точки С. Маючи вертикальну і горизонтальну проекції цієї точки, можна побудувати і профільну проекцію з ". За аналогією з цим, будуємо проекції точок А, В і D. Проекції інших точок 7, 2, 3, 4, 5, 6, 7 і 8 будуємо способом січних площин.

Щоб побудувати горизонтальну проекцію, наприклад точки 7, проводимо через неї січну площину P, яка перетне піраміду по п'ятикутник, подібного її основи. Щоб не затемнювати креслення побудовою п'ятикутника, обмежимося однією з його сторін, що проектується на грань KETP. Перетин контуру перетину з горизонтальною проекцією ребра KP дасть горизонтальну проекцію точки 1. Горизонтальні проекції точок 2, 3 визначаються за аналогією, т. Е. Проведенням через 2 'і 3' площині R. Подібним чином проводиться побудова інших точок. Маючи горизонтальні і вертикальні проекції всіх точок, неважко побудувати їх профільні проекції. Закінчена побудова піраміди наведено на фіг. 123. До зображень в ортогональних проекціях додана аксонометрична проекція цієї піраміди.

Приклад 2. Побудова в усіченому конусі вирізів, утворених чотирма площинами, що перетинають поверхню конуса по основним кривим: кола, еліпсу, параболі і гіперболи, наведено на фіг. 124. Горизонтальні проекції точок А і 1, що лежать на вертикальній проекції лінії контуру конуса, легко визначити без додаткових побудов. Проекції інших точок знайдені проведенням горизонтальних січних площин, позначених слідами Pv, Rv і т. Д.

Д

Визначивши горизонтальні проекції точок, неважко побудувати їх профільні проекції. Послідовне з'єднання проекцій точок кривих перерізу показано на фіг. 125. Там же дані розміри конуса. Поруч з ортогональними проекціями показаний той же конус в діметріческой проекції.