Нарисна геометрія

Цей спосіб застосовується для побудови лінії перетину поверхонь обертання довільного виду, за умови, що осі цих поверхонь перетинаються.

В основу способу концентричних сфер покладено властивість сфери з центром на осі будь-якої поверхні.

Якщо центр сфери знаходиться на осі який-небудь поверхні обертання, то сфера співвісний з поверхнею обертання і в їх перетині вийдуть окружності (рис. 106).

Цей спосіб застосовується для побудови лінії перетину поверхонь обертання довільного виду, за умови, що осі цих поверхонь перетинаються

Мал. 106. співвісний поверхні обертання: a - наочне зображення; б - на комплексному кресленні

Розглянемо спосіб концентричних сфер на прикладі побудови лінії перетину циліндра і конуса обертання, осі яких i (i1, i2) і q (q1, q2) перетинаються і точка перетину осей позначена через O (O1, O2) (рис. 107).

Точка перетину осей поверхонь приймається за центр допоміжних концентричних сфер.

Точка перетину осей поверхонь приймається за центр допоміжних концентричних сфер

Мал. 107. Лінія перетину поверхонь циліндра і прямого кругового конуса

Алгоритм рішення задачі про визначення лінії перетину поверхонь полягає в наступному:

1. Визначити опорні точки (рис. 108). Так як обидві дані поверхні мають загальну площину симетрії δ (δ1), паралельну площині проекцій П2, то їх нарисові утворюють, по відношенню до площини П2, перетинаються. Точки A (A1, A2), B (B1, B2), C (C1, C2) і D (D1, D2) перетину цих утворюють є точками видимості лінії перетину поверхонь.

2. Визначити радіуси максимальною і мінімальною сфер, необхідних для визначення точок лінії перетину.

Радіус максимальної сфери Rmax дорівнює відстані від центру допоміжних сфер до найбільш віддаленої точки перетину нарисових утворюють, в даному випадку Rmax = O2A2 (рис. 109).

Щоб визначити радіус мінімальної сфери Rmin, необхідно провести через точку O2 нормалі до нарисові утворюючим даних поверхонь. Тоді більший з відрізків цих нормалей і буде Rmin. У цьому випадку сфера мінімального радіуса стосуватиметься однієї з даних поверхонь, а з другої - перетинатися.

В даному випадку сферою мінімального радіуса є сфера, яка стосується циліндричної поверхні (див. Рис. 109).

109)

Мал. 108. Визначення опорних точок лінії перетину поверхонь

Сфера радіусом Rmin стосується циліндричної поверхні по колу m, яка на фронтальній проекції зображується у вигляді прямої m2), перпендикулярної q2) (m2) ⊥q2)). Ця ж сфера перетинає конічну поверхню по двох кіл. Але, в даному випадку, нам цікава тільки окружність n, так як тільки вона дає рішення. Ця окружність n зображується на фронтальній проекції у вигляді прямої n2), перпендикулярної i2) (n2) ⊥i2)). Точки E і F перетину цих кіл будуть належати обом поверхням:

Щоб побудувати горизонтальні проекції точок E і F слід скористатися окружністю n, що містить дані точки, так як вона не спотворюється на площині проекцій П1:

Щоб побудувати горизонтальні проекції точок E і F слід скористатися окружністю n, що містить дані точки, так як вона не спотворюється на площині проекцій П1:

3. Для побудови проміжних точок лінії перетину проводять кілька концентричних сфер з центром в точці O, причому радіус R цих сфер має змінюватися в межах Rmin <R <Rmax. Розглянемо визначення точок лінії перетину на прикладі сфери радіусом R1 (Rmin <R1 <Rmax) (рис. 110, 111).

110, 111)

Мал. 110. Визначення проміжних точок лінії перетину поверхонь

Сфера радіусом R1 перетинає циліндричну поверхню по колу l, яка на фронтальній проекції зображується у вигляді прямої l2, перпендикулярної q2 (l2⊥q2). Ця ж сфера перетинає конічну поверхню по колу k, яка зображується на фронтальній проекції у вигляді прямої k2, перпендикулярної i2 (k2⊥i2). Точки G і H перетину цих кіл будуть точками шуканої лінії перетину:

Щоб побудувати горизонтальні проекції точок G і H, слід скористатися окружністю k, що містить дані точки, так як вона не спотворюється на площині проекцій

Щоб побудувати горизонтальні проекції точок G і H, слід скористатися окружністю k, що містить дані точки, так як вона не спотворюється на площині проекцій

Мал. 111. Визначення проміжних точок лінії перетину поверхонь

4. Аналогічним чином визначити всі інші точки шуканої лінії перетину. Послідовно з'єднати отримані точки плавною лекальної кривої. В даному випадку лінія перетину поверхонь циліндра і конуса являє собою дві криві другого порядку u (u1, u2) і u '(u'1, u'2) (рис. 112).

Горизонтальна проекція лінії перетину поверхонь симетрична відносно площини δ (δ1) - загальною площині симетрії даних поверхонь. Ця площина була вказана раніше (див. Рис. 108).

5. Визначити видимість лінії перетину поверхонь і їх нарисових утворюють. На фронтальній площині проекцій видимі будуть ті точки лінії перетину, які лежать перед горизонтальною проекцією нарисових утворюють, проекції яких збігаються з площиною симетрії δ (δ1), - точки A, M, G, E, D і B, K, P, C. на горизонтальній площині проекцій лінія u (u1, u2) видима, так як всі її точки лежать вище фронтальної проекції осі обертання циліндра q (q2), а лінія u '(u'1, u'2) буде невидима, оскільки всі її точки лежать нижче фронтальної проекції утворюють, співпадаючих з проекцією осі обертання циліндра q (q2).

Мал. 112. Лінія перетину поверхонь циліндра і конуса