Крива (лінія) - це однопараметричне безліч точок. Криві лінія в нарисної геометрії розглядається як траєкторія, безперервно рухається в просторі точки, а також як лінія перетину поверхонь.

Типи ліній - плоскі, всі крапки якої належать одній площині - (коло, еліпс, парабола, гіпербола), просторові -все точки не належать одній площині - гвинтові (циліндричні, конічні і т.д.). Крива може бути описана аналітично, тобто рівнянням (алгебраїчним або трансцендентним), наприклад, еліпс, парабола, гіпербола та ін. Якщо освіту кривої не має суворої закономірності, то вона задається графічно, наприклад горизонталі на плані місцевості.

Ступінь рівняння, яке виражає алгебраїчну криву, визначає порядок кривої. Геометрично порядок плоскої кривої визначається числом точок її перетину прямою лінією (як дійсних, так і уявних точок). Порядок просторової кривої визначається числом точок перетину кривої з площиною.

Властивості проекцій кривої: 1) в загальному випадку проекції кривої лінії є також кривими лініями; 2) якщо точка належить кривій лінії, то її проекції належать однойменним проекція цієї кривої; 3) дотична до кривої лінії проектується в дотичну до проекції цієї кривої, якщо напрямок не паралельно дотичній. Точка кривої називається звичайної, якщо в цій точці можна побудувати єдину дотичну до кривої. Точка називається особливою, якщо в ній не визначено положення дотичної. До них відносяться (рисунок 10.1): а) кутова точка, в якій крива має дві дотичні і напрямок її змінюється «стрибком»; б) вузлова точка, в якій крива перетинає себе; в) точка перегину, в якій змінюється напрямок руху дотичній; г) точки повернення першого роду; д) точка повернення другого роду.

Освіта і завдання поверхні. У нарисної геометрії поверхню розглядається як безперервне безліч послідовних положень лінії, що переміщається в просторі за певним законом. Такий спосіб утворення поверхонь називається кинематическим. Лінію l, яка при своєму русі утворює поверхню, називають що утворює (рисунок 10.2). Утворює може переміщатися по будь-якій іншій нерухомою лінії m, званої направляючої. Сукупність геометричних елементів і умов, необхідних і достатніх для однозначного завдання поверхні називають визначником. Визначник поверхні містить дві частини - геометричну та алгоритмічну.

Поверхня вважається заданою, якщо щодо будь-якої точки простору можна вирішити питання про її приналежності даної поверхні.

Поверхнею обертання називається поверхня, утворена обертанням лінії - утворює навколо нерухомої прямої - осі обертання.

На проекційному кресленні вісь обертання розташовують перпендикулярно площині проекцій. Кола, по яких переміщаються всі крапки утворює називаються паралелями. Найбільшу паралель називають екватором, найменшу - горловиною. Якщо вісь обертання вертикальна, то все паралелі проектуються на горизонтальній проекції без спотворення. Площині, що проходять через вісь обертання, перетинають поверхню по лініям, званим меридіанами. Меридіан, розташований в площині, паралельній площині проек ций, називається головним і проектується на цю площину проекцій нарисом поверхні.

На малюнку 10.4 показано як визначати, якої бракує проекцію точки А, якщо задана її тільки одна проекція на поверхні обертання.

При обертанні прямої l навколо осі i утворюється лінійчата поверхню обертання другого порядку:

якщо l Ç i - конічна поверхня обертання;

якщо l ÷÷ i - циліндрична поверхня обертання;

якщо li - однопорожнинний гіперболоїд обертання.

Вид поверхні обертання залежить від форми утворює і її положення щодо осі обертання. При обертанні кривої n -го порядку, що має площину симетрії, навколо осі, що лежить в цій площині, утворюється поверхня обертання n -го порядку.

1. Сфера. Утворюється обертанням окружності навколо діаметра.

2. Еліпсоїд обертання. Меридіаном є еліпс. Якщо еліпс обертається навколо великої осі, еліпсоїд називається витягнутим, якщо обертання відбувається навколо малої осі, еліпсоїд називають стислим.

3. Параболоїд обертання. Меридіаном є парабола.

4. Гіперболоїд обертання. Меридіаном поверхні є гіпербола. Якщо вісь обертання збігається з дійсною віссю гіперболи, утворюється двуполостной гіперболоїд, якщо віссю обертання є уявна вісь, то - однопорожнинний.

5. При обертанні кривій алгебри n -го порядку навколо довільної прямої утворюється поверхня обертання близько 2 n. Наприклад, тор. Поверхня тора утворюється обертанням кола навколо осі, що не проходить через її центр, але розташованої в площині кола.

Поверхня, утворена рухом прямої лінії по заданому закону, називається лінійчатої. Розгортаються лінійчатих поверхні - конічні і циліндричні, торсовие. Лінійчата поверхня, утворена безліччю дотичних просторової кривої, називається торсовой або поверхнею з ребром повернення.

Неразвертиваемие - поверхні з площиною паралелізму (поверхні Каталана): циліндроїда, коноїд, коса площину (гіперболічний параболоїд) (рисунок 10.5).

Поверхня, утворена гвинтовим рухом деякої лінії, називається гвинтовою поверхнею. Якщо при своєму русі утворює перетинає вісь гвинтового руху, то поверхня називається закритою, в іншому випадку - відкритою. Якщо утворює є пряма, то поверхня має назву гелікоїда. Гелікоїд називається прямим, якщо утворює перпендикулярна осі гвинтового руху, в іншому випадку - похилим. На малюнку 10.6 показаний закритий прямий гелікоїд. Якщо утворюють відкритого гелікоїда є дотичними деякої циліндричної гвинтової лінії, то гелікоїд називається гвинтовим торсом або евольвентним, так як його нормальне (перпендикулярний до осі) перетин являє евольвенту окружності.

Поверхня, утворена паралельним переміщенням утворює l по направляючої m, називається поверхнею паралельного перенесення.

Основна література: 1 осн. [117-162], 2 осн. [67-93]

Додаткова література: 1 доп. [57-84].

Контрольні питання:

1. Які криві лінії називаються алгебраїчними і які - трансцендентними?

2. Які точки кривої відносять до особливих?

3. Що називається визначником поверхні?

4. Вкажіть основні властивості поверхонь обертання?

5. Які гвинтові поверхні називають гелікоїда?

6. Як побудувати точку і лінію, що належать поверхні?

7. Назвіть поверхні обертання з прямолінійною твірною.

Дата додавання: 2014-12-03; переглядів: 35; Порушення авторських прав