У деяких випадках для побудови ліній перетину геометричних тел зручно застосовувати спосіб допоміжних сфер. На відміну від способу допоміжних січних поверхонь метод допоміжних сфер має певну перевагу, оскільки при побудові фронтальної проекції лінії перетину поверхонь не використовуються інші проекції пересічних поверхонь геометричних тіл (рис. 1).

Допоміжні сферичні поверхні для побудови ліній перетину геометричних тіл можна застосовувати лише за таких умов:

• пересічні поверхні повинні бути поверхнями тіл обертання;
• осі поверхонь обертання повинні перетинатися, при цьому точка перетину осей є центром допоміжних сфер;
• осі поверхонь обертання повинні бути паралельні котрійсь із площин проекцій.

Приклади застосування допоміжних сфер при побудові лінії перетину геометричних тел наведені на рис. 1 а, б.

На рис. 1, а показано побудова фронтальних проекцій лінії перетину поверхонь двох циліндрів, осі яких перетинаються під гострим кутом. Допоміжні сфери проводять з точки О 'перетину осей циліндрів.
Побудуємо, наприклад, фронтальну проекцію деякої проміжної точки лінії перетину. Для цього з точки О 'проводять сферичну поверхню радіуса R, яка на даній проекції відіб'ється в вигляді кола цього ж радіуса.
Окружність радіуса R перетне горизонтальний циліндр по колу діаметру АС і ВD, а похило розташований циліндр - по колах діаметра АВ.

У перетині отриманих проекцій кіл - відрізків a'b 'і c'd' - знаходять проекцію 2 'проміжної точки лінії перетину.

Допоміжні сфери можуть мати радіуси в певних межах, що дозволяють використовувати їх для побудови загальних точок пересічних тел. Межі радіусів допоміжних сфер знаходять наступним чином (рис. 1, а і б):

• окружність сфери найбільшого радіуса повинна перетинатися з контурними утворюють II і II-II циліндрів;
• окружність сфери найменшого радіусу повинна бути дотичній до однієї з даних пересічних поверхонь і обов'язково перетинатися з утворюють інших поверхонь.

Якщо поверхні двох конусів (рис. 2) описані близько кулі, то вони стосуються кулі по двох кіл, які перетинаються в двох точках. Ці точки проектуються на фронтальну площину проекцій в точку р '. Площині, в яких лежать ці кола, перетинаються по прямій, що з'єднує точки перетину ліній торкання конусів з кулею.
Кола проектуються на фронтальну площину проекцій у вигляді прямих ліній.

Поєднавши очевидну точку s 'перетину конусів з точкою р', отримаємо лінію перетину конусів з кулею, яка представляє собою фронтальну проекцію еліпса.

Розберемо другий подібний приклад.
Якщо два прямих кругових циліндра з осями, що перетинаються в точці О '(рис. 2, б), описані близько кулі з центром в точці О, то фронтальна проекція кулі буде колом, дотичній до контурним утворюючим циліндрів.
Лінії перетину поверхонь цих циліндрів представляють собою еліпси, фронтальні проекції яких зображуються у вигляді прямих ліній a'b 'і c'd'.

***

Завдання до графічним роботам по темі "проекціювання моделі"