Приклади використання формули згортки

Приклад 45. Нехай незалежні випадкові величини і мають стандартний нормальний розподіл. Доведемо, що їх сума має нормальний розподіл з параметрами і .

Доказ. За формулою згортки, щільність суми дорівнює

Останній інтеграл дорівнює одиниці, оскільки під інтегралом стоїть щільність нормального розподілу з параметрами і . Отже, ми отримали, що щільність розподілу суми є щільність нормального розподілу з параметрами і .

Якщо сума двох незалежних випадкових величин з одного і того ж розподілу (можливо, з різними параметрами) має таке ж розподіл, кажуть, що це розподіл стійко щодо підсумовування. У наступних твердженнях перераховані практично всі стійкі розподілу.

Лемма 1. Нехай випадкові величини і незалежні. тоді .

Доказ. Знайдемо таблицю розподілу суми. Для будь-якого цілого

В останній рівності ми скористалися біном Ньютона.

Лемма 2. Нехай випадкові величини і незалежні. тоді .

Сенс леми 2 абсолютно зрозумілий: складаючи кількість успіхів в перших і в наступних незалежних випробуваннях однієї і тієї ж схеми Бернуллі, отримуємо кількість успіхів в випробуваннях. Корисно довести це твердження аналогічно тому, як ми довели лему 1.

Лемма 3. Нехай випадкові величини і незалежні. тоді .

Лемма 4. Нехай випадкові величини і незалежні. тоді .

Ці твердження ми доведемо пізніше, використовуючи апарат характеристичних функцій, хоча при деякому терпінні можна спробувати довести їх безпосередньо за допомогою формули згортки.

Показовий розподіл нестійка з підсумовування, проте воно є окремим випадком гамма-розподілу, яке вже стійко щодо підсумовування. Доведемо окремий випадок леми 4.

Лемма 5. Нехай незалежні випадкові величини мають показовий розподіл . тоді .

Доказ. Доведемо твердження по індукції. при воно вірно в силу рівності . Нехай твердження леми справедливо для . Доведемо, що воно вірне і для . За припущенням індукції, має розподіл , Тобто щільність розподілу величини дорівнює

Тоді за формулою згортки щільність суми дорівнює Так як при , Тобто при , То щільність під інтегралом відмінна від нуля, тільки якщо змінна інтегрування змінюється в межах при . при підінтегральна функція дорівнює нулю. при маємо Тому , що й потрібно було довести.

Приклад 46. Рівномірний розподіл не є стійким щодо підсумовування. Знайдемо функцію і щільність розподілу суми двох незалежних випадкових величин з однаковим рівномірним на відрізку розподілом, але не по формулі згортки, а використовуючи геометричну ймовірність.

нехай - незалежні випадкові величини. випадкові величини і можна вважати координатами точки, кинутої навмання в одиничний квадрат.

тоді дорівнює площі області всередині квадрата під прямий . Ця область - заштрихований на Мал. 9.1 трикутник (при ) Або п'ятикутник (при ). Отримаємо функцію розподілу і щільність розподілу суми двох незалежних рівномірно розподілених на відрізку випадкових величин:

Отриманий розподіл називається "трикутним розподілом" Сімпсона. Бачимо, що розподіл суми незалежних випадкових величин з рівномірним розподілом не є рівномірним.

Приклад 47. Знайдемо функцію і щільність розподілу приватного двох незалежних випадкових величин і , Що мають показовий розподіл з параметром .

при по теоремі 30 маємо

де область є безліч точок таких, що . При цьому досить обмежитися позитивними значеннями і : Показово розподілені випадкові величини можуть приймати негативні значення лише з нульовою ймовірністю.

Обчислимо інтеграл по області :

Вправа .Провесті обчислення і отримати відповідь. Таким чином, функція і щільність розподілу приватного мають вигляд