1. 3.3. тривимірні графіки При завданні функції двох змінних, будь-якій парі чисел (x, y) з деякого...
2. приклад 3.9
3. Налаштування графіка (зміна параметрів)
4. Приклади побудови графіків функцій
5. приклад 3.10

3.3. тривимірні графіки

При завданні функції двох змінних, будь-якій парі чисел (x, y) з деякого безлічі D упорядкованих пар чисел поставлено у відповідність з певним законом однина - значення функції F (x, y). Безліч D називається областю визначення функції. Пару чисел x, y можна розглядати як пару координат точки M на площині, координата z = F (x, y). При цьому аргументами функції будуть координати x, y точки M. Числа x, y можна розглядати як координати вектора r, що виходить з початку координат і з кінцем в точці M (x, y). Тоді функція двох змінних буде функцією вектора, що записується у вигляді формули z = F (r), причому аргументами функції є координати вектора r.

3.3.1.Графік поверхні

Графік функції двох змінних є безліч точок (x, y, F (x, y)). Графік являє собою деяку поверхню. Графік функції двох змінних F (x, y) будується з використанням шаблону графіка поверхні на панелі Графіка. Для побудови графіка поверхні можна використовувати різні способи [3] . Якщо треба тільки подивитися загальний вигляд поверхні, MathCAD автоматично будує графік.

Для побудови графіка:

• визначити математично функцію двох змінних
• Викликати Surface Plot з панелі графіків (або команду Insert -> Graph -> Surface Plot
• У графічної області на місці шаблону для введення вказати (без аргументів) ім'я функції F.

При автоматичному побудові графіка незалежні змінні x і y приймають значення з проміжку [-5,5].

приклад 3.9

Побудуємо графік функції ( рис.3.19 ).

Лістинг побудови графіка поверхні прикладу 3.9

Налаштування графіка (зміна параметрів)

Щоб змінити задані за замовчуванням параметри графіків, треба виділити графік і, активізувати подвійним клацанням лівою кнопкою миші. З'явиться діалогове вікно 3-D Plot Format (Форматування тривимірних графіків) ( рис.3.20 ).

Мал.3.20.

Вікно 3-D Plot Format (Форматування тривимірних графіків)

Діалогове вікно 3-D Plot Format містить дев'ять закладок і безліч прапорців для вибору режиму побудови графіка.

Вкладка General "Спільне".

Розділ View "Вид" показує кути, під якими спостерігається побудований графік поверхні.

Поле Rotation визначає кут повороту навколо осі Z в площині XY. Значення в поле Tilt задає кут нахилу лінії погляду до площини XY. Поле Zoom дозволяє збільшити (зменшити) графічне зображення в число разів, рівне цифрі, зазначеної в поле.

Розділ "Стиль осі" визначає стиль зображення розмірів графіка:

• периметр-графік з розмірами по периметру;
• кут-графік з розмірами по осях;
• немає-графік без розмірів по периметру і по осях;
• рівні шкали - установка по осях рівних масштабів.

Розділ Frames (Межі) визначає обрамлення графіка:

• Show border - показує кордону графіка;
• Show box каркас - показує графік в параллепіпед.
• Plot 1 Display as (Графік / кілька графіків Показати як) Графік 1 Панель перемикачів визначає форму подання тривимірного графіка: контурний, точковий, векторне поле та ін.)

Після зміни параметра натисніть на кнопку Застосувати. Для повернення в документ, натисніть ОК.

Вкладка Axes (Ось) дозволяє змінювати зовнішній вигляд осей координат

• Grids (Сітки) - можна відобразити на графіку лінії, описувані рівняннями x, y, z = const.
• Якщо змінні введені з індексами - , на осях Ox і Oy вказуються значення індексів i і j, в той час як вісь Oz розмічається відповідно до проміжком, якому належать елементи матриці значень .
• Auto Grid (Автосетка), програма самостійно задає сітку. Якщо її відключити, можног вказати число ліній сітки ,.
• Auto Scale (Авошкала), MathCAD сам визначає межі побудови графіка і масштаби по осях.
• При відключенні Auto Scale можна самостійно задати межі зміни змінних в полях Minimum Value (Мінімум) і Maximum Value (Максимум).
• Show Numbers (Нумерація), відображаються мітки на осях і підписи до них.

На вкладці QuickPlot Data ( Ріс.3.21 ) Можна встановити інші межі зміни незалежних змінних x і y, встановити кількість ліній сітки, визначити систему координат: декартову, сферичну, циліндричну.

Мал.3.21.

Вікно 3-D Plot Format. Вкладка QuickPlot Data

Для подання графіка в різних системах координат досить клацнути відповідний перемикач Coordinat System ( Ріс.3.21 ). на малюнках 3.22 і Ріс.3.23 показані графіки функції прикладу 3.9. в сферичної і циліндричної системі координат

Мал.3.22.

. Графік прикладу 3.9. при установці сферичних координат

Графік прикладу 3.9. при установці циліндричних координат

Вкладка Appearance (Зовнішній вигляд) дозволяє змінювати для кожного графіка вид і колір заливки поверхні (область Fill Options); вид, колір і товщину додаткових ліній на графіку (область Line Options); наносити на графік точки даних (опція Draw Points області Point Options), міняти їх вид, розмір і колір.

Важлива опція Calomap забарвлює графік: максимальні значення в червоний, найменші - в синій колір як в спектрі видимого світла ..

Вкладка Lighting (Освітлення). При включенні опції Enable Lighting (Наявність підсвічування) дозволяє вибрати колірну схему для освітлення, "встановити" кілька джерел світла, вибравши для них колір освітлення і визначивши його напрямок.

Вкладка Backplanes (Підстава) дозволяє змінити зовнішній вигляд площин, що обмежують область побудови: колір, нанесення сітки, визначення її кольору і товщини, промальовування кордонів площин

Вкладка Advansed (Додатково) дозволяє встановити параметри друку і змінити колірну схему для фарбування поверхні нрафіка, а також вказати напрямок зміни забарвлення (уздовж осі Ox, Oy або Oz). Включення опції Enable Fog (Наявність Туману) робить графік нечітким, злегка розмитим (напівпрозорим). При включенні опції Perspective (Перспектива) з'являється можливість вказати у відповідному полі відстань до спостерігача.

Приклади побудови графіків функцій

В автоматичному режимі (за замовчуванням) MathCAD будує графік в інтервалі зміни змінних x і y: (-5; 5). Якщо в цій області функція не є безперервною (має розрив), графік не будується. Можна перебудувати межі зміни x і y у вікні форматування. Можна задати межі зміни x і y аналітично, в потрібній області розгляду графіка і побудувати сітку з потрібними параметрами. Розглянемо побудову графіків різними способами.

приклад 3.10

Побудувати графік поверхні функції різними способами.

1 спосіб. "Швидкий" графік "( Ріс.3.24 ).

Для побудови графіка:

• функція визначена
• викликати Graph -> Surface Plot
• на місці шаблону вказати ім'я функції F.

Мал.3.24.

Лістинг побудови графіка поверхні прикладу 3.10

2 спосіб. Використання сітки. Побудувати графік Fпо 20 точкам. Мінлива x змінюється від 8 д і про 10, y змінюється, від 10 до 12.

Для побудови графіка в певній галузі зміни незалежних змінних з певним кроком треба задати вузлові точки , , Як індексні змінні по точкам. Потім сформувати матрицю значень функції в точках у вигляді: .

Графік будується не від значень x і y, а від номера точки.

, ,

, ,

, ,

значення функції в крайніх точках сітки:

,

,

Мал.3.25.

Лістинг побудови графіка поверхні прикладу 3.10 при завданні сітки