лекція № 1 В математичному енциклопедичному словнику дається таке визначення: «Нарисна геометрія - розділ геометрії, в якому просторові фігури, а також методи вирішення і дослідження просторових задач вивчаються за допомогою їх зображень на площині». Методи нарисної геометрії є теоретичною базою для вирішення завдань технічного креслення. У техніці креслення є основним засобом вираження людських ідей. Вони повинні не тільки визначати форму і розміри предметів, але і бути досить простими і точними в графічному виконанні, допомагати всебічно досліджувати предмети і їх окремі деталі. Для того щоб правильно висловити свої думки за допомогою малюнка, ескізу, креслення потрібне знання теоретичних основ побудови зображень геометричних об'єктів, їх різноманіття і відносини між ними, що і складає предмет нарисної геометрії. - спілкування стає більш доступним, тому що образи, створювані на основі візуального (зорового) сприйняття, мають більшу, ніж слова, асоціативної силою; - зображення є інтернаціональною мовою спілкування, тоді як, наприклад, вербальне спілкування вимагає для розуміння, як мінімум знання мови співрозмовника. Таким чином теоретичні основи візуалізації інформації про геометричні об'єктах, різноманіття геометричних об'єктів простору, відносини між ними і їх графічного відображення на площині складають предмет нарисної геометрії. Завдання цієї науки - створення оптимальних геометричних форм об'єктів машинобудування, архітектури та будівництва, розробка теорії графічного відображення об'єктів і процесів. Нарисна геометрія з часів її засновника Г. Монжа (1746-1818) завоювала своє гідне місце у вищій школі як наука. Найважливіше прикладне значення нарисної геометрії як навчальної дисципліни полягає в тому, що вона вчить володіти графічною мовою, виконувати і читати креслення та інші зображення геометричних об'єктів, без чого немислимо формування інженера. Вона забезпечує спадкоємність між шкільними курсами геометрії і креслення і графічними дисциплінами вузу. Вивчення нарисної геометрії сприяє розвитку просторової уяви і навичок правильного логічного мислення. Удосконалюючи нашу здатність - по плоскому зображенню подумки створювати уявлення про форму предмета і навпаки створення зображень подумки створених образів - візуалізація думки. Однак не всяке зображення відображає геометричні властивості оригіналу і не може бути прийнято для всебічного його дослідження. Принципова відмінність методів зображення, що вивчаються в курсі нарисної геометрії, від деяких сучасних технічних засобів відображення (фотографія, голографія і ін.), Полягає в можливості з великою наочністю і метричної достовірністю відобразити не тільки існуючі предмети, а й виникають в нашій уяві образи проектованого об'єкта . зображення , Яке дозволяє визначати взаємозв'язок (взаімопрінадлежності) елементів об'єкта, називають повним. зображення , За якими можна визначити розміри об'єкта, називається метрично певними. З площинних зображень об'єкта найбільш широке застосування в практиці отримали малюнки і креслення. малюнком називають зображення предмета від руки і на око з удаваними відносними розмірами і положеннями окремих його елементів. кресленням називають зображення предмета, побудоване за особливими правилами за допомогою креслярських інструментів в точній залежності від розмірів і положення в просторі відповідних ліній предмета. У техніці креслення є основним засобом вираження людських ідей. Вони повинні не тільки визначати форму і розміри предметів, але і бути досить простими і точними в графічному виконанні, допомагати всебічно, досліджувати предмети і їх окремі деталі. Ці вимоги до креслень і привели до створення теорії зображень, що становить основу нарисної геометрії. Правила побудови зображень засновані на методі проекцій. Тому проекційний метод побудови зображень є основним методом нарисної геометрії Отже, в курсі нарисної геометрії вивчаються: методи відображення просторових об'єктів на площині; способи графічного і аналітичного рішення різних геометричних задач; прийоми збільшення наочності та візуальної достовірності зображень проектованого об'єкта; способи перетворення і дослідження геометричних властивостей зображеного об'єкта; основи моделювання геометричних об'єктів. Види проектування. Одне з основних геометричних понять - відображення множин. У нарисної геометрії кожній точці тривимірного простору ставиться у відповідність певна точка двовимірного простору - площині. Геометричними елементами відображення служать точки, лінії, поверхні простору. Геометричний об'єкт, що розглядається як точкове безліч відображається на площину за законом проектування. Результатом такого відображення є зображення об'єкта. В основу будь-якого зображення покладена операція проектування, яка полягає в наступному. У просторі вибирають довільну точку S (рис. 1 .1 ) В якості центру проектування і площину П i, не проходить через точку S, як площині проекцій (картинній площині). Щоб спроектувати точку А на площину П i, через центр проектування S проводять промінь S А до його перетину з площиною П i в точці А i. Точку А i прийнято називати центральної проекцією точки А, а промінь S А - проецирующим променем. Описані побудови висловлюють суть операції, званої центральним проектуванням точок простору на площину. В евклідовому просторі існують точки, які не мають центральних проекцій, і навпаки в площині П i є точки, які в просторі не мають оригіналів (точки D і F). Точка F прямий m належить площині, Ω, що проходить через центр проектування S і розташованої паралельно площині проекцій, таким чином проектує промінь SF паралельний площині проекцій, а точка F, як і всі точки лежать в площині Ω не мають центральних проекцій на П i. Малюнок 1 .1. Центральне проектування Точка Di проекції прямої mi не має оригіналу на прямий m, так як проектує промінь SDi паралельний прямій. Для виключення подібних випадків евклидово простір розширюють введенням невласних (нескінченно віддалених) точок. Такий простір називається розширеним евклідовому простором. Проектують промені, проведені через всі крапки кривої n, утворюють проецирующую конічну поверхню N (рис. 1.2 ). Проекція криволінійної фігури, таким чином, являє собою лінію перетину проецирующей поверхні N і площини проекцій П i. Малюнок 1 .2. Центральне проектування лінії Малюнок 1 .3. Центральне проектування поверхні Конічну поверхню До утворюють промені і при проектуванні тривимірної фігури (рис. 1.3 ). Лінію K i прийнято називати в цьому випадку нарисової або нарисом даної фігури. Центральне проектування є найбільш загальний випадок проектування геометричних об'єктів на площині. Основними і незмінними його властивостями (інваріантами) є наступні: 1) проекція точки - точка; 2) проекція прямої - пряма; 3) якщо точка належить прямій, то проекція цієї точки належить проекції прямої. За принципом центрального проектування працюють фотоапарати і кінокамери. Спрощена схема роботи людського ока близька до цього виду проектування: роль центру проектування виконує оптичний центр кришталика, роль проектують прямих - промені світла; площиною проекцій служить сітківка ока. Тому зображення, побудовані за принципом центрального проектування, найбільш наочні і їх широко використовують в своїй роботі художники, архітектори, дизайнери і багато інших фахівців. Окремий випадок центрального проектування - паралельне проектування, коли центр проектування увійти на сайт нескінченність, при цьому проектують промені можна розглядати як паралельні проектують прямі. Положення проектують прямих відносно площини проекцій визначається напрямом проектування S (рис. 1.4). В цьому випадку отримане зображення називають паралельної проекцією об'єкта. При паралельному проектуванні зберігаються властивості центрального та додаються такі: проекції паралельних прямих паралельні між собою; відношення відрізків прямої дорівнює відношенню їх проекцій; відношення відрізків двох паралельних прямих дорівнює відношенню їх проекцій. У свою чергу паралельні проекції підрозділяються на прямокутні, коли проектують прямі перпендикулярні площини проекцій, і косокутні, коли напрям проектування утворює з площиною проекцій кут не дорівнює 900. Малюнок 1 .4. паралельне Таким чином ортогональное (прямокутне) проектування є приватним випадком паралельного і отримана цим методом проекція об'єкта називається ортогональної. Ортогональному проецированию притаманні всі властивості паралельного і центрального проектування і крім того, справедлива теорема про проектуванні прямого кута: якщо хоча б одна сторона прямого кута паралельна площині проекцій, а другий не перпендикулярна їй, то прямий кут на цю площину проектується в прямий кут. До проекційним зображенням в нарисної геометрії ставляться такі основні вимоги: 1. Оборотність - відновлення оригіналу за його проекційним зображенням (кресленням) - можливість визначати форму і розміри об'єкта, його положення і зв'язок з навколишнім середовищем; 2. Наочність - креслення повинен створювати просторове уявлення про форму предмета; 3. Точність - графічні операції, виконані на кресленні, повинні давати досить точні результати; 4. Простота - зображення повинне бути простим з побудови і має допускати однозначне опис об'єкта у вигляді послідовності графічних операцій. 
проектування
