- Заміна однієї площини проекції
- Заміна двох площин проекцій
- Використання методу заміни при вирішенні задач
- Визначення відстані між паралельними площинами
Для вирішення цілої низки завдань нарисної геометрії найбільш раціональним є метод заміни площин проекцій. Наприклад, з його допомогою можна визначити натуральну величину плоскої фігури, відстань між паралельними прямими, опорні точки перетину поверхонь.
зміст
- Заміна однієї площини проекції
- Заміна двох площин проекцій
- Використання методу заміни при вирішенні задач
Заміна однієї площини проекції
Суть методу полягає в заміні однієї з площин проекцій на додаткову площину, обрану так, щоб в новій системі площин рішення поставленого завдання значно спрощувалося. Положення фігур в просторі при цьому не змінюється.
Приклад 1.
Розглянемо на прикладі точок A і B, як здійснюються побудови на комплексному кресленні. Спочатку точка A знаходиться в системі площин П1, П2. Введемо додаткову горизонтальну пл. П4. Вона буде перпендикулярна фронтальної площини проекцій П2 і перетне її по осі x1. Цю вісь необхідно провести на комплексному кресленні з урахуванням мети побудови. Тут ми розташували її довільно.
У новій системі площин положення точки A '' не зміниться. Щоб знайти точку A'1, яка є проекцією т. А на площину П4, проведемо з A '' перпендикуляр до осі x1. На цьому перпендикуляре від точки його перетину з віссю x1 відкладемо відрізок Ax1А'1, рівний відрізку AxA '.
Дані побудови засновані на рівності ординат точок A 'і А'1. Дійсно, в системі площин П1, П2 і в системі П2, П4 точка A віддалена від фронтальної площини проекцій П2 на одне і те ж відстань.
Приклад 2.
Тепер здійснимо переклад точки B в нову систему площин П1, П4 (рис. Нижче). Для цього введемо довільну фронтальну пл. П4, яка буде перпендикулярна горизонтальної площини проекцій П1 і перетне її по осі x1.
В системі П1, П4 положення точки B 'залишиться незмінним. Щоб знайти точку B''1, проведемо з B 'перпендикуляр до осі x1. На цьому перпендикуляре від точки його перетину з віссю x1 відкладемо відрізок Bx1B''1 рівний відрізку BxB ''. Описані побудови засновані на рівності аплікат точок B '' і B''1.
Заміна двох площин проекцій
Іноді для вирішення поставленого завдання потрібна заміна двох площин проекцій (рис. Нижче). Нехай A 'і A' '- вихідні проекції точки A, що знаходиться в системі пл. П1, П2. Введемо першу додаткову площину П4 і визначимо нову горизонтальну проекцію A'1 точки A, як це було описано раніше.
Для здійснення другої заміни площини проекцій будемо розглядати систему пл. П2, П4 в якості вихідної. Введемо нову фронтальну площину П5 перпендикулярно горизонтальній пл. П4. Для цього на довільному місці креслення проведемо вісь x2 = П4 ∩ П5. З точки A'1, положення якої залишиться незмінним, відновимо перпендикуляр до осі x2. На ньому від точки Ax2 відкладемо відрізок Ax2A''1 рівний відрізку A''Ax1.
Використання методу заміни при вирішенні задач
Володіючи методом заміни стосовно одній точці, можна побудувати додаткові проекції будь-яких фігур, оскільки вони представляють собою безліч точок. На малюнку нижче показаний переклад відрізка AB в приватне становище. Нова площина П4 проведена паралельно AB, тому відрізок проектується на неї в натуральну величину.
На наступному малюнку показана площину загального положення α, задана слідами. Переведемо її в нову систему площин П1, П4 так, щоб α займала проецирующее положення. Для цього перпендикулярно горизонтальному сліду h0α введемо додаткову фронтальну площину П4.
Новий фронтальний слід f0α1 будується по двох точках. Одна з них, Xα1, лежить на перетині h0α з віссю x1. Додатково візьмемо точку N, що належить α, і вкажемо її фронтальну проекцію N''1 на площині П4.
Визначення відстані між паралельними площинами
Паралельні площини α і β розташовані так, як показано на малюнку. Щоб знайти відстань між ними, необхідно з довільної точки A, взятої на пл. α, опустити перпендикуляр AB на пл. β і визначити його справжню довжину.
Для зменшення кількості геометричних побудов α і β попередньо переводяться в проецирующее положення за допомогою методу заміни площин проекцій. Допоміжна точка M використовується для визначення напрямку слідів f0β1 і f0α1, паралельних один одному.
Інші способи перетворення проекцій:
