Нартова Л. Г.1, Гузненков В.Н.2

1доктор педагогічних наук, професор, Московський авіаційний інститут (національний дослідницький університет МАІ); 2доктор педагогічних наук, доцент, Московський державний технічний університет імені Н.Е. Баумана (МДТУ ім. Н. Е. Баумана)

ІДЕЇ І МЕТОДИ ПРИКЛАДНОЇ ГЕОМЕТРІЇ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ В ТЕХНІКИ

анотація

Розглядаються нарисна геометрія і прикладна геометрія, як навчальні і наукові дисципліни. Наведено приклад практичного використання методів нарисної геометрії та прикладної геометрії при вирішенні завдань конструювання технічних поверхонь літальних апаратів.

Ключові слова: нарисна геометрія, прикладна геометрія, геометричне моделювання.

Nartova LG1, Guznenkov VN2

1Doctor of Pedagogy, Professor, Moscow Aviation Institute (National Research University), 2Doctor of Pedagogy, Bauman Moscow State Technical University

IDEAS AND METHODS OF APPLIED GEOMETRY AND THEIR APPLICATIONS IN ENGINEERING

Abstract

Considered descriptive geometry and applied geometry, as educational and scientific disciplines. An example of the practical use of methods of descriptive geometry and applied geometry in solving the technical design of aircraft surfaces .

Keywords: descriptive geometry, applied geometry, geometric modeling.

Нарисна геометрія, як навчальний предмет і теоретичне обгрунтування нового геометричного знання, виникла ще в 19 столітті [1]. Її засновником, як моногамной геометричній області знання, вважається по праву видатний французький геометр, член Національного інституту в Парижі (який відповідав за своїм науковим статусу Академії Наук) Гаспар Монж.

У той далекий час всі великі вчені, як правило, володіли великою ерудицією в різних областях наукового знання. Це з повним правом можна віднести до досить різнобічної наукової діяльності Г. Монжа. Йому належать серйозні теоретичні дослідження в галузі математичного аналізу, у встановленні тісних зв'язків з вищої геометрією, в тому числі і диференціальної, і серйозні геометричні інтерпретації вже відомих наукових дисциплін.

У класичному розумінні, нарисна геометрія є галузь вищої геометрії, заснованої на широкому застосуванні методу проекційних зображень [2]. Саме так і класифікував її і сам Гаспар Монж. Однак, з плином часу, вона все більше і більше обростала глибокої спільністю міркувань, властивої кожної математичної науки. Одночасно зростала і можливість її воістину універсального застосування в дослідженні і конструюванні об'єктів різної природи. Нарисна геометрія все більше і більше починає відігравати певну роль і в математиці, фізиці, хімії, кристалографії і навіть в педагогіці (параметричний метод побудови проекцій), і в психології (в проблемах сприйняття простору різного числа вимірювань), і т.д [3] .

Все це дало можливість ще в минулому столітті відзначити характерний подвійний характер нарисної геометрії, зарахувавши її остаточно до числа прикладних наук, і привласнити їй назву - прикладна геометрія. Це важлива обставина і дозволяє їй виживати і ефективно розвиватися в настільки боргом часовому періоді.

Зокрема про це всерйоз і грунтовно згадується в книзі Джона Хоргана «Кінець науки»: «Прикладна наука буде жити довгий час, тому що вчені продовжують розробку нових універсальних матеріалів:

- більш швидких і складних комп'ютерів;

- нових і більш перспективних генно-інженерних технологій, що роблять нас здоровіше, сильніше, збільшують тривалість життя, і що спираються на сучасні досягнення математики, в тому числі і вищої геометрії ... ».

У зв'язку з цим доречно зазначити той факт, що найважливішою особливістю будь-якого геометричного знання є воістину універсальна можливість його застосування. Так ще академік А.Н. Колмогоров писав: «... проте всюди, де це можливо, математики прагнуть зробити досліджувані ними проблеми геометрично наочними, тому геометрична інтуїція, геометричне уяву, просторові уявлення, геометричні інтерпретації грають істотну роль в процесі вивчення різних розділів математики, фізики і т.д.» . Науково-педагогічний коментар самого Г. Монжа: «Якби мені знову довелося почати цю роботу (мова йде про написання курсу нарисної геометрії), я надрукував би її в два стовпці: в першому помістив би рішення геометричних задач шляхом обчислення, а в другому - вирішення тих же завдань, але виконані шляхом графічних побудов. Читачі мабуть були б дуже здивовані, побачивши, що другий стовпець майже завжди заслуговував би переваги, як по ясності, так і по простоті доказів ».

Беручи до уваги типологію процесу виникнення нових областей знання, прикладну геометрію можна було б помістити на кордон існування двох основних типів розвитку наук, типу А і типу С. Пояснимо це більш докладно.

Тип А. Процес виникнення складається з можливостей і потреб дослідження нових невідомих раніше або досліджувалися спорадично предметних областей.

У нашому випадку компонентами є область рішення технічних завдань, заснована на геометричних методах і їх інтерпретаціях, що застосовуються в нарисної геометрії плюс САПР (мається на увазі смисловий еквівалент англійського CAD, що означає проектування за допомогою ЕОМ).

Інакше в змістовному сенсі - це конструювання, можливості автоматизації якого забезпечуються використанням цифрових обчислювальних засобів. В даний час все це трактується як комп'ютерне геометричне моделювання [4].

Тип С. Безпосередні зв'язки двох або трьох традиційних дисциплін призводять до консолідації предметів окремих наук і до виникнення прикордонних дисциплін. В цьому випадку провідну роль набувають ті проблеми, які вирішуються на стику окремих галузей знань, а отже, виникнення нових галузей знань відбувається не в результаті свавілля і суб'єктивних схильностей вчених, а являє об'єктивний процес. Освіта подібного роду прикордонних наукових дисциплін не змінювало в подальшому існуванні «материнських дисциплін». Але якщо говорити про стан вищої нарисної геометрії в ХХ столітті і зараз, то слід в першу чергу враховувати вплив прикладних задач в області механіки, фізики, теорії механізмів і машин, САПР і фундаментальних результатів обчислювальної геометрії [5]. Все це свідчить про новий науково прикладному напрямку розвитку наук, воєдино связавшем наукові підстави нарисної геометрії з сучасними обчислювальними методами в процесі конструювання, що і призвело до еволюції класичної нарисної геометрії в геометрію прикладну. В цьому напрямку доречно відзначити надзвичайно плідну діяльність кафедри прикладної геометрії МАІ, створеної в 1948 році. Під керівництвом першого завідувача кафедрою дійсного члена АПН СРСР, доктора фізико-математичних наук, заслуженого діяча науки і техніки професора Н.Ф. Четверухина були отримані чудові результати як в науковій діяльності так і навчальної роботи. Теоретичні дослідження, покладені в основу нарисної геометрії: теорія умовних зображень, параметричний метод, узагальнення принципів паралельної аксонометрии, дозволили Н.Ф. Четверухина створити чудову наукову школу, підготувати і випустити велику кількість аспірантів і докторантів - майбутніх фахівців широкого профілю в області теоретичних основ нарисної геометрії, здатних впровадити сучасні теоретичні методи її викладання на всій території Радянського Союзу і за його межами.

Цей коментар дозволить краще зрозуміти і оцінити значення і силу наукової творчості колективу кафедри прикладної геометрії МАІ. Це дало можливість розширити і поглибити коло прикладних задач, що вирішуються методами нарисної, прикладної геометрії. Її методи знайшли своє блискуче втілення в CAD / CAM / CAE-системи [6]. Відомий фахівець в області математичного забезпечення CAD / CAM-систем П. Безьє відзначав, що створення систем автоматизованого проектування неможливо без знання геометрії, особливо прикладної геометрії.

Отже, нами відзначено, що прикладна геометрія дуже багатогранна наука, що включає в себе вирішення найскладніших геометричних задач різної спрямованості [7]. В даний час вирішуються завдання геометричного конструювання різних геометричних об'єктів, в тому числі авіаційного профілю. Слід зазначити, що ці завдання відрізняються спільністю методів [8], тому що їх рішення засноване на оптимізації великої кількості параметрів, що входять в функціональні залежності, що описують той чи інший об'єкт, а далі вступають в силу і застосовуються загальні закони автоматизації в їх стандартній формі.

Зіставляючи методи нарисної геометрії і номографіческіе моделювання, можна отримати досить ефективне і витончене рішення такої класичної завдання як квадратична інтерполяція. З іншого боку, номографіческіе інтерпретації плоских кривих, поверхонь призводять до найважливіших понять в номографії - поняття криволінійних шкал і сітчастих номограм, що становлять основу для введення в розгляд номограмм більш загальних класів. Так, наприклад, сітчасті номограми можна інтерпретувати як плоскі перетину поверхонь самого загального виду, заданих безперервними функціями в неявній формі F (x, y, z) = 0, а основний метод нарисної геометрії - метод Монжа можна з успіхом застосувати для конструювання плоских еквівалентів складних просторових номограмм. Відзначимо, що в процесі математичної обробки емпіричних даних, а це одна з найсерйозніших завдань конструювання технічних поверхонь, зокрема, у створенні літальних апаратів різних класів доводиться вирішувати задачу про інтерполяції функцій певного типу.

Покажемо, як це робиться. Припустимо, що вихідна функціональна залежність задана у вигляді таблиці, в якій допустима квадратична інтерполяція. У декартовій системі координат (0 uv) трьом парам значень змінних (u 1 v 1), (u 2 v 2), (u 3 v 3), взятих з цієї таблиці, відповідає інтерполяціонная крива v = au 2 + bu + c ( 1), коефіцієнти якої (параметри) визначаються з системи рівнянь:

v 1 = au 12 + bu 1 + c

v 2 = au 22 + bu 2 + c (2)

v 3 = au 32 + bu 3 + c

З умови сумісності рівняння (1) і системи (2) можна отримати рівняння інтерполяційної кривої у вигляді:

│ u 1 u 12 v 1 1│

│ u 2 u 22 v 2 1│ = 0

│ u 3 u 32 v 3 1│ (3)

│ u u v 1│

Припустимо, що задані певні інтервали змін змінних u, v. Тоді рівняння (3) можна інтерпретувати просторової номограми, взявши в якості дозволяє індексу певну площину.

Отже, в прямокутній системі координат 0 xyz рівняння (3) визначає проецирующую поверхню, що направляє якої служить парабола, симетрична щодо осі координат.

Тепер просторова номограмма рівняння (3) буде складатися з чотирьох бінарних полів (u 1, v 1), (u 2, v 2), (u 3, v 3), (u, v), розташованих на цій поверхні. Одне з сімейств ліній представлено утворюють циліндра (це прямі u 1, u 2, u 3, u), інше лініями перетину отриманої поверхні з площинами рівня z = const. Ці лінії мають відповідно позначки v 1, v 2, v 3, v. Геометрично схема користування номограми полягає в наступному: в просторі знаходимо положення роздільною площині Σ, при якому вона пройде через три точки з заданими позначками (u 1, v 1), (u 2, v 2), (u 3, v 3), далі вибираємо утворить циліндра з позначкою «u» і відзначаємо точку її перетину з площиною Σ. Тоді ордината цієї точки дорівнює значенню відповідної змінної v. Тепер спроеціруем дану поверхню ортогонально на площині П1, П2, збігаються з координатними площинами x 0 y і y 0 z. Тоді на горизонтальній площині отримаємо збіглася шкалу змінних u 1, u 2, u 3, u, розташовану на параболі, а на фронтальній площині - загальне ортогональное бінарне поле для змінних (u 1, v 1), (u 2, v 2), (u 3, v 3), (u, v), що складається з помічених прямих паралельних осі 0 z (рис. 1).

Мал. 1

Розглянемо другий випадок застосування креслення Монжа для отримання канонічної форми просторової номограми певного типу. Припустимо, що дана складова номограмма з прямокутною німий шкалою і подвійним вирівнюванням, що означає, що у відповідь змінну на ній можна знайти за допомогою двох дозвільних прямих.

Отже, нехай німа шкала розташована на осі абсцис і рівняння чотирьох шкал записані у вигляді:

u = fi (α i),

v = φi (α i)

де, i = 1, 2, 3, 4.

Приймемо площині складових номограмм за координатні суміщені площині (z, x) (x, y). Тоді для першої номограми u = x, v = z, для другої номограми u = x, v = y. Точки M, N, P, Q, що дають рішення рівняння і належать одній роздільною площині, будуть мати в просторі такі координати:

M [x = f 1 (α1), 0, z = φ 1 (α1)]

N [x = f 2 (α2), 0, z = φ 2 (α2)]

P [x = f 3 (α3), y = φ 3 (α3), 0]

Q [x = f 4 (α4), y = φ 4 (α4), 0]

Отже, на епюрі Монжа площини елементарних складових номограмм збіглися з горизонтальною і фронтальною площинами епюра. Зауважимо, переходячи знову в простір 0 xyz, прямі MN і PQ можна вважати слідами роздільною площині номограми.

Так як чотири поточні точки M, N, P, Q належать одній роздільною площині, то ця умова можна записати в такій формі:

│ f 1 (α1) 0 φ 1 (α1) 1 │

│ f 2 (α2) 0 φ 2 (α2) 1 │ = 0

│ f 3 (α3) φ 3 (α3) 0 1 │

│ f 4 (α4) φ 4 (α4) 0 1 │

Це рівняння, записане в формі визначника Соро (французький номографії вперше отримав цей вислів) і являє собою в такому компактному вигляді канонічну форму рівняння з чотирма змінними, представлену номограми розглянутого виду (рис. 2).

Мал. 2

література

1. Гузненков В.Н. Геометро-графічна підготовка в технічному університеті // Російський науковий журнал. - 2013. - № 6. - С. 159-166.
2. Гузненков В.Н. Тенденція розвитку геометро-графічного освіти в технічному університеті // Інновації в освіті. - 2014. - № 12. - С. 131-137.
3. Якунін В.І., Гузненков В.Н. Геометро-графічні дисципліни в технічному університеті // Теорія і практика суспільного розвитку. - 2014. - № 17. - С. 191-195.
4. 4. Гузненков В.Н., Демидов С.Г. Autodesk Inventor в курсі інженерної графіки. Навчальний посібник для вузів. - М .: Гаряча лінія-Телеком, 2009. - 144 с.
5. Якунін В.І., Гузненков В.Н., Журбенко П.А. Геометричне моделювання як міждисциплінарний мову // Дискусія. - 2012. - № 12. - С. 161-166.
6. Гузненков В.Н., Журбенко П.А. Autodesk Inventor 2012. Тривимірне моделювання деталей і створення креслень: навч. посібник. - М .: ДМК Пресс, 2012. - 120 с.
7. Якунін В.І., Гузненков В.Н. Геометричне моделювання як узагальнення методів прикладної геометрії та її розділів // Інтеграл. - 2012. - № 5. - С. 120-121.
8. Гузненков В.Н., Журбенко П.А. Модель як ключове поняття геометро-графічної підготовки // Alma mater (Вісник вищої школи). - 2013. - № 4. - С. 82-87.

References

1. Guznenkov VN Geometro-graficheskaya podgotovka v tekhnicheskom universitete // Rossiyskiy nauchnyy zhurnal. - 2013. - № 6. - S. 159-166.
2. Guznenkov VN Tendentsiya razvitiya geometro-graficheskogo obrazovaniya v tekhnicheskom universitete // Innovatsii v obrazovanii. - 2014. - № 12. - S. 131-137.
3. Yakunin VI, Guznenkov VN Geometro-graficheskie distsipliny v tekhnicheskom universitete // Teoriya i praktika obschestvennogo razvitiya. - 2014. - № 17. - S. 191-195.
4. 4. Guznenkov VN, Demidov SG Autodesk Inventor v kurse inzhenernoy grafiki. - М .: Goryachaya liniya-Telecom, 2009. - 144 s.
5. Yakunin VI, Guznenkov VN, Zhurbenko PA Geometricheskoe modelirovanie kak mezhdistsiplinarnyy yazyk // Diskussiya. - 2012. - № 12. - S. 161-166.
6. Guznenkov VN, Zhurbenko PA Autodesk Inventor 2012. - М .: DМК Press, 2012. - 120 s.
7. Yakunin VI, Guznenkov VN Geometricheskoe modelirovanie kak obobschenie metodov prikladnoy geometrii i ee razdelov // Інтеграл. - 2012. - № 5. - S. 120-121.
8. Guznenkov VN, Zhurbenko PA Моdel kak klyuchevoe ponyatie geometro-graficheskoy podgotovki // Alma mater. - 2013. - № 4. - S. 82-87.