1. Прямокутні аксонометричні проекції. Коефіцієнти спотворення і кути між осями
2. Побудова прямокутної аксонометрической проекції кола
3. Приклади побудов в ізометричної і діметріческой проекціях
4. Деякі косокутні аксонометричні проекції
5. Про родинному відповідно і його застосуванні до вирішення деяких завдань
6. Стандартні аксонометричні проекції
7. Приклади побудови аксонометричних проекцій геометричних фігур
8. Рішення позиційних задач на аксонометрических проекціях
9. Рішення метричних задач на аксонометрических проекціях

У багатьох випадках при виконанні технічних креслень виявляється необхідним поряд із зображенням предметів в системі ортогональних проекцій мати зображення більш наочні. Для побудови таких зображень застосовують проекції, звані аксонометричними або, скорочено, аксонометрією. Назва «аксонометрія» утворене з слів давньогрецької мови: аксон - вісь і метрео - вимірюю.

Спосіб аксонометричного проектування полягає в тому, що дана фігура разом з осями прямокутних координат, до яких ця система точок віднесена в просторі, паралельно проектується на деяку площину 1). Отже, аксонометрична проекція є, перш за все, проекція тільки на одній площині, а не на двох або більше, як це має місце в системі ортогональних проекцій. При цьому необхідно забезпечити наочність зображень і можливість виробляти визначення положень і розмірів, як це викладено далі.

На рис. 449 показана схема проектування точки А на деяку пл. α, прийняту за площину аксонометричних проекцій (звану також картинної площиною). Напрям проектування зазначено стрілкою 2).

Прямі Ox, Оу, Oz зображують осі координат в просторі, прямі Оαх, ОαУ, Oαz - їх проекції на пл. α, звані аксонометричними осями (або осями аксонометричних координат).

1) Аксонометрія може бути також центральної; тут розглядається паралельна аксонометрія.

2) Напрям проектування може становити з площиною аксонометричних проекцій деякий гострий або прямий кут. Для забезпечення наочності зображень напрям проектування не слід брати паралельним жодної з координатних площин.

На осях х, у, z відкладений певний відрізок довжиною l, що приймається за одиницю виміру по цих осях (натуральна одиниця). Відрізки lx, ly, lz, на аксонометрических осях є проекції відрізка l; вони взагалі не рівні l і не рівні між собою. Відрізки lx, ly, lz є одиницями виміру по аксонометричних осях - аксонометричними одиницями 1).

Відносини lx l, ly l, lz l називаються коефіцієнтами спотворення (або показниками спотворення) по аксонометричних осях.

Коефіцієнт спотворення по осі Оαх позначимо k, по осі Оαу позначимо m, по осі Oαz позначимо n.

Триланкового просторова лінія ОАхА'А спроектувати в плоску ламану лінію ОαАхαА'αАα (рис. 449). Точка Аα - аксонометрична проекція точки А; точка А'α є аксонометрическую проекцію точки А ', яка є однією з ортогональних проекцій точки А, а саме на пл. π1 (хОу). Крапку А'α називають вторинної проекцією точки А 2). Можна побудувати ще дві вторинні проекції точки А, що відповідають двом іншим її ортогональним проекція - на площинах π2- (xOz) і π3 (yOz).

Відносини між аксонометричними проекціями відрізків прямих ліній, паралельних прямокутним осях координат, і самими відрізками виражаються коефіцієнтами k, m, n.

Так як (див. Рис. 449) А'АХ || Оу і А'А || Oz, то при паралельному проектуванні А'αАхα || Оαу і А'αАα || Oαz. Ставлення паралельних відрізків при паралельному проектуванні зберігається; отже, А'αАxα: ly = А'АХ: l або А'αАхα: А'Аx = ly: l = m, де m - коефіцієнт спотворення по осі Оαу. Аналогічні висновки можна зробити і щодо відрізків ,, розташованих паралельно осях х і z: відносини проекцій таких відрізків до самих відрізків рівні (відповідно) коефіцієнтами спотворення k і n.

Так, між аксонометрической проекцією АαВα відрізка АВ, паралельного осі х (рис. 450), і самим відрізком відношення дорівнює АαВα: АВ = k.

Кожен з відрізків лінії ОАхА'А (рис. 449) визначає одну з прямокутних координат точки А; проекції цих відрізків - відрізки плоскою ламаної лінії ОαАхαА'αАα - визначають відповідно аксонометричні координати тієї ж точки А. Очевидно, за допомогою коефіцієнтів спотворення можна перейти від прямокутних координат до аксонометричну, і навпаки: хα = kx, уα = mу, zα = nz, де буквами хα, yα, za позначені відрізки, що визначають аксонометричні координати точки, а буквами х, у, z - відрізки, що визначають її прямокутні координати.

На рис. 451 дан приклад побудови аксонометрической проекції точки за її ортогональним проекція.

Точка Аα побудована по координатним відрізках, узятим з креслення: х = ОАХ, у = АxА ', z = АxА ". З огляду на коефіцієнти спотворення k, m і n, відкладаємо по осі 0αх відрізок OαАХα = k · ОАХ, потім паралельно осі Оαу відрізок АxαА'α = m · АxА 'і, нарешті, паралельно осі Oαz відрізок А'αАα = n · АxА ".

1) Застосовуються також назви «аксонометричні масштаби» і відповідно «натуральний масштаб».

2) Термін, застосований В. І. Курдюмовим в його праці «Курс нарисної геометрії».

Площина β (рис. 452) зображена слідами і в аксонометрической проекції. Для побудови слідів взяті точки їх перетину з осями по відрізках на осях (наприклад, точка Хβα побудована по відрізку ОХβ: OαXβα = k · ОХβ).

Точка А, що лежить в пл. β, побудована в аксонометрической проекції по її координатами; горизонталь NαAα повинна бути паралельна своєї вторинної проекції і сліду на площині хОαу. Крапку Аα можна било побудувати і як точку перетину двох будь-яких прямих в пл. β, побудувавши аксонометричні проекції цих прямих.

На тому ж рис. 452 зображена в аксонометрической проекції фронтально-проектує площину і належить їй точка Вα. Як визначити прямокутні координати цієї точки? Побудова показано на рис. 452 справа: в аксонометрической проекції проведена горизонталь NαBα і побудована її вторинна проекція, на якій отримана вторинна проекція В'β Шукані координати точки В:

де k, m, n - коефіцієнти спотворення.

При побудові аксонометричних проекцій зазвичай користуються не самими коефіцієнтами спотворення, а деякими величинами, їм пропорційними. Ці величини будемо називати наведеними 1) коефіцієнтами спотворення.

Переймаючись наведеними коефіцієнтами, можна взяти найбільший з них рівним одиниці, що спрощує побудови.

Якщо на пл. α взяти довільно чотири точки Оα, Аα, Вα і Сα, з яких ніякі три не лежать в одній прямий, і з'єднати їх попарно прямими, то вийде фігура, яка називається повним чотирикутником (OαAαBαCα); це чотирикутник з його діагоналями (рис. 453, а). Якщо, далі, через ці точки провести паралельні між собою прямі і взяти на кожній з них по довільній точці О, А, В і С так, щоб всі вони не лежали в одній площині, то в просторі утворюється взагалі деякий тетраедр ОABC 2). Очевидно, тетраедрів в просторі, паралельної проекцією яких може служити повний чотирикутник OαAαBαCα, може бути безліч. У їх числі міститься і тетраедр з прямим тригранним кутом при точці О і з рівними ребрами OA, OB, ОС; такий тетраедр може розглядатися як масштабний 3), т. е. три рівних і взаємно перпендикулярних ребра цього тетраедра служать масштабами осей координат в просторі (рис. 453, в). Це становить зміст основного пропозиції аксонометрии (або «основний теореми аксонометрии»), що приводиться в наступному формулюванні: будь-який повний чотирикутник на площині завжди є паралельною проекцією деякого масштабного тетраедра. Тому будь-які три прямі, що проходять через одну точку на площині і не збігаються між собою, можуть бути прийняті за аксонометричні осі, т. Е. За проекції осей прямокутних координат, і будь-які три відрізки, відкладені на цих прямих від точки їх перетину, можуть бути взяті відповідно до обраного співвідношенням наведених коефіцієнтів спотворення як аксонометрических едініц4).

1) Назва «наведений» по відношенню до коефіцієнтів (показників) спотворення застосовано Н. Ф. Четверухина і Е. А. Глазуновим в їхній праці «Аксонометрія» (М .: Гостехиздат, 1953).

2) Тетраедр - в даному випадку трикутна піраміда довільної форми.

3) Термін «масштабний тетраедр» застосований Н. Ф. Четверухина.

4) «Основна пропозиція аксонометрии» було сформульовано К. Польці (в 1851 р) у вигляді такої теореми: будь-які три відрізки, що виходять з однієї точки на площині, можуть бути прийняті за паралельні проекції трьох рівних і взаємно перпендикулярних відрізків в просторі. У шістдесятих роках минулого століття Г. Шварц узагальнив теорему Польці, довівши, що будь-який повний чотирикутник на площині завжди можна розглядати як паралельну проекцію тетраедра, подібного будь-якому заданому. Тих, хто цікавиться доказом відсилаємо до книги Є. А. Глазунова і Н. Ф. Четверухина, зазначеної в виносці 1), або до книги Н. А. Глаголєва «Нарисна геометрія» (М .: Гостехиздат, 1953).

Якщо всі три коефіцієнта спотворення рівні між собою (k = m = m), то аксонометрична проекція називається ізометричної; якщо рівні між собою тільки два коефіцієнти спотворення (наприклад, k = n, але m не дорівнює k, або k = m, але n не дорівнює k), то проекція називається діметріческой; нарешті, якщо k ≠ m, k ≠ n, m ≠ n, то проекція називається тріметріческой 1).

Якщо напрямок Проекція не перпендикулярно до площини α, то аксонометрична проекція носить назву косокутній. В іншому випадку аксонометрична проекція називається прямокутною.

Для порівняння уявімо собі сферу в прямокутної і косокутній аксонометрических проекціях. У першому випадку утворюють циліндричної проецирующей поверхні, загортання куля, перпендикулярні до площини аксонометричних проекцій; а так як проектує циліндр є циліндром обертання, то прямокутна аксонометрична проекція сфери є коло.

У разі ж косокутній проекції в перетині проецирующей поверхні з площиною аксонометричних проекцій виходить еліпс; в косокутній аксонометрической проекції зображення сфери втрачає в своїй наочності.

У практиці побудови наочних зображень зазвичай застосовують лише деякі певні комбінації напрямів аксонометрических осей і коефіцієнтів спотворення (або наведених коефіцієнтів спотворення).

• Прямокутні аксонометричні проекції. Коефіцієнти спотворення і кути між осями

  1. Візьмемо площину аксонометричних проекцій таким чином, щоб вона перетинала всі три координатні осі (рис. 454, зліва) в точках X, Y, Z. Детальніше

• Побудова прямокутної аксонометрической проекції кола

  1. Почнемо з загального завдання - побудувати прямокутну аксонометрическую проекцію кола, розташованої в деякій площині загального положення β. Детальніше

• Приклади побудов в ізометричної і діметріческой проекціях

  Нижче наведені деякі приклади побудов в прямокутних ізометричної і діметріческой проекціях. Детальніше

• Деякі косокутні аксонометричні проекції

  З числа косокутних аксонометричних проекцій зупинимося насамперед на часто застосовується проекції, одержуваної на площині, паралельної пл. π2. Детальніше

• Про родинному відповідно і його застосуванні до вирішення деяких завдань

  Розглянемо родинне відповідність фігур, розташованих в двох пересічних площинах або в одній площині, в системі паралельного проектування. Детальніше

• Стандартні аксонометричні проекції

  В інженерній практиці, зокрема в машинобудуванні, найбільшого поширення набули прямокутні діметріческая і ізометричні проекції. Відзначимо деякі властивості цих проекцій. Детальніше

• Приклади побудови аксонометричних проекцій геометричних фігур

  При побудові аксонометричних проекцій користуватися коефіцієнтами спотворення незручно. Детальніше

• Рішення позиційних задач на аксонометрических проекціях

  Рішення позиційних задач на аксонометричному кресленні не відрізняється від рішення цих задач в ортогональних проекціях на епюрі Монжа. Детальніше

• Рішення метричних задач на аксонометрических проекціях

  Між ортогональними і аксонометричними проекціями існує залежність, яка дозволяє по ортогональним проекція геометричної фігури і заданому напрямку аксонометричного проектування побудувати трикутник слідів і, навпаки, за заданою проекції трикутника слідів визначити напрямок аксонометричного проектування. Детальніше