НОУ ІНТУЇТ | лекція | Граничний перехід і безперервність

Граничний перехід і безперервність

Анотація: розглядаються основні математичні поняття і факти, пов'язані з граничним переходом і безперервністю, нескінченно малими і нескінченно великими, чудовими межами, невизначеністю.

Граничний перехід і безперервність

Нехай дана деяка послідовність перенумерованих чисел x1, x2, ..., xn, ..., Яку позначимо коротко або {xn}. Цю послідовність можна записати як функцію від номера n: xn = f (n), або x1 = f (1), x2 = f (2), ..., xn = f (n), .. ..

Будь-яка послідовність буде задана, якщо буде вказано правило освіти її членів. Послідовність, як правило, задається формулами виду xn = f (n) або xn = f (xn-1), xn = f (xn-1, xn-2) і т.д., де Будь-яка послідовність буде задана, якщо буде вказано правило освіти її членів .

Приклад .Последовательность 2, 4, 8, 16, ... задана формулою xn = 2n; геометрична прогресія a1, a2, ..., an, ... може бути визначена формулою an = a1qn-1 або an = an-1q; числа Фібоначчі 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... визначаються формулами xn = xn-1 + xn-2, n = 3, 4, ..., x1 = 1, x2 = 1.

Графік числової послідовності {xn} утворюється безліччю точок Mn (n; f (n)) на площині nOx, тобто графік числової послідовності складається з дискретних точок.

Послідовність {xn} називається зростаючою, якщо виконана умова виду .

Послідовність {xn} називається спадною, якщо виконана умова виду .

Послідовність {xn} називається не зростаючій, якщо виконана умова виду .

Послідовність {xn} називається не спадною, якщо виконана умова виду: .

Такі послідовності називаються монотонними. Решта послідовності - не є однорідним.

Поруч називається нескінченна послідовність будь-яких об'єктів однакової природи.

Приклад .ряд з чисел - числовий ряд. Ряд з функцій - функціональний ряд.

Порядок проходження елементів ряду - суттєвий. Помінявши порядок, з тих же елементів отримаємо інший ряд.

Нас тут цікавить лише числовий ряд і його сума, що записується поки формально (неконструктивно, що не формалізовано), тобто сума всіх членів деякої нескінченної числової послідовності u1, u2, ..., un, ..., Або u1 + u2 + .. . + un + .. .. Цей ряд можна записати компактно у вигляді

знак знак - знак сигма або знак суми, послідовного підсумовування всіх елементів un від нижньої межі n = 1 (вказується внизу, може бути як будь-яким кінцевим, так і негативною нескінченністю) до верхньої межі (Вказується вгорі, може бути будь-яким числом, більшим або рівним нижній межі, а також позитивною нескінченністю) - знак "сигма" або знак суми, послідовного підсумовування всіх елементів un від нижньої межі n = 1 (вказується внизу, може бути як будь-яким кінцевим, так і негативною нескінченністю) до верхньої межі (Вказується вгорі, може бути будь-яким числом, більшим або рівним нижній межі, а також позитивною нескінченністю).

Числа un (n = 1, 2, ...) Називаються членами ряду, а un - загальним членом ряду.

Приклад .У шкільному курсі математики дається геометрична нескінченно спадна прогресія a = aq + aq2 + ... + aqn-1 + ..., | Q | <1, u1 = a, u2 = aq, ..., Un = aqn- 1. Сума цього ряду (прогресії), як відомо з шкільного курсу, дорівнює S = a / (1-q).

Приклад. Гармонійний ряд чисел - ряд виду: . Нижче ми розглянемо його більш детально.

Числовий ряд буде вважатися заданим, тобто кожен його елемент буде визначено однозначно, якщо вказано правило знаходження його загального члена або дана деяка числова функція натурального аргументу Числовий ряд буде вважатися заданим, тобто кожен його елемент буде визначено однозначно, якщо вказано правило знаходження його загального члена або дана деяка числова функція натурального аргументу , Або un = f (n) , Або un = f (n).

приклад .Якщо , То заданий ряд , Або в компактній записи:

Якщо заданий гармонійний ряд чисел, то його загальний член можна записати у вигляді , А сам ряд - у вигляді

Дамо визначення кінцевої суми ряду та послідовності таких кінцевих сум.

Кінцева сума n перших членів ряду називається його n -ої часткової сумою і позначається через Sn:

Ця сума знаходиться за звичайними правилами підсумовування чисел. Таких сум можна скласти нескінченно багато, тобто для кожного ряду можна розглядати ряд, складений з часткових сум: S1, S2, ..., Sn, ... або послідовність часткових сум, побудованих для цього ряду: Ця сума знаходиться за звичайними правилами підсумовування чисел .

послідовність послідовність обмежена зверху, якщо знайдеться таке загальне для всіх членів послідовності число M, якого не перевищують всі члени послідовності, тобто якщо виконана така умова: обмежена зверху, якщо знайдеться таке загальне для всіх членів послідовності число M, якого не перевищують всі члени послідовності, тобто якщо виконана така умова:

послідовність чисел послідовність чисел обмежена знизу, якщо знайдеться таке загальне для всіх членів послідовності число m, яке перевершують всі члени послідовності, тобто якщо виконана умова: обмежена знизу, якщо знайдеться таке загальне для всіх членів послідовності число m, яке перевершують всі члени послідовності, тобто якщо виконана умова:

Послідовність чисел обмежена, якщо знайдуться такі загальні для всіх членів послідовності числа m і M, які задовольняють умові:

Число a називається межею числової послідовності {xn}, якщо існує таке мале число , Що всі члени послідовності, за винятком деякого кінцевого числа перших членів, потрапляють в - околиця числа a, тобто, врешті-решт, згущуються близько точки a. Таким чином, в проміжок повинні потрапити всі точки xi, i = N0, N0 + 1, N0 + 2, ... послідовності. При цьому номер N0 залежить від обраного числа , тобто (Рис. 7.1) .

Мал.7.1.

Ілюстрація залежності номера від розміру околиці

Математично існування границі послідовності можна записати у вигляді:

Цей факт записують коротко у вигляді або , І кажуть, що сходиться до числа a. Якщо послідовність не має межі, то вона називається розходиться.

З визначення межі З визначення межі безпосередньо випливає: якщо відкинути, додати або змінити кінцеве число членів послідовності, то збіжність не порушується (тобто якщо сходиться вихідна послідовність, то сходиться і змінена послідовність) і межі вихідної і отриманої послідовності будуть рівні безпосередньо випливає: якщо відкинути, додати або змінити кінцеве число членів послідовності, то збіжність не порушується (тобто якщо сходиться вихідна послідовність, то сходиться і змінена послідовність) і межі вихідної і отриманої послідовності будуть рівні.

Приклад Покладіть, що Приклад Покладіть, що , де , тобто , , , де , тобто , , . Цей факт легко доводиться, але ми поки беремо його в якості доведеного факту. тоді , : . Знайдемо значення номера (Якщо такий номер існує). Розглянемо . Вірно наступне співвідношення:

Тому, якщо візьмемо номер Тому, якщо візьмемо номер , То нерівність буде виконано , То нерівність буде виконано. Наприклад, при значенні , Отримуємо номер N0 = 99, тобто , | Xn-1 | <0,01. Чим менше значення - тим більше значення N0. Наприклад, якщо , То N0 = 999.

Дамо тепер два еквівалентних визначення границі функції: за допомогою межі послідовності і за допомогою відповідності малих околиць аргументу і значення функції. З здійсненності одного визначення слід здійсненність іншого. Нехай функція y = f (x) визначена Дамо тепер два еквівалентних визначення границі функції: за допомогою межі послідовності і за допомогою відповідності малих околиць аргументу і значення функції , Крім, може бути, точки x = x0, яка є граничною точкою D (f). У цій точці функція може бути не задана (не визначена) або може мати розрив.

Число a називається границею функції f (x) при , Якщо вірно умова

Це означає, що якщо послідовність {xn} прагне до x0, то послідовність значень функцій {f (xn)} прагне до a.

Число a називається границею функції f (x) при , Якщо вірно умова

Таким чином, можна записати умову виду Це означає, якщо точка x береться з деякою околиці точки x0, то значення функції f (x) виявляється в деякому околі точки a (див. Мал. 7.2 ).

Записують факт існування границі функції в точці у вигляді або .