1. 7.1. Поверхні. Освіта і завдання поверхні на кресленні
2. 7.2. поверхні обертання
3. 7.3. циліндрична поверхня
4. 7.4. Перетин прямої з поверхнею прямого кругового циліндра
5. Вправа
6. 7.5. Перетин прямої з поверхнею похилого циліндра
7. 7.6. сферична поверхня
8. Вправа
9. 7.7. Перетин прямої з поверхнею сфери
10. 7.8. конічна поверхня
11. 7.9. Перетин прямої з поверхнею конуса
12. 7.10. Перетин циліндра площиною
13. 7.11. Перетин сфери площиною
14. 7.12. Перетин конуса площиною
15. 7.13. Завдання для самостійної роботи

З питань репетиторства з нарисної геометрії, ви можете зв'язатися будь-яким зручним способом в розділі Контакти . Можливо очне та дистанційне навчання по Skype: 1000 р. / Ак.ч.

7.1. Поверхні. Освіта і завдання поверхні на кресленні

Поверхні складають широке різноманіття об'єктів тривимірного простору. Інженерна діяльність людини пов'язана безпосередньо з проектуванням, конструюванням і виготовленням різних поверхонь. Більшість завдань прикладної геометрії зводиться до автоматизації проектно-конструкторського процесу і відтворення складних поверхонь. Способи формоутворення і відображення поверхонь становлять основу інструментальної бази тривимірного моделювання сучасних систем автоматизованого проектування.

Розглядаючи поверхні як безперервне безліч точок, між координатами яких може бути встановлена залежність, яка визначається рівнянням виду F (x, y, z) = 0, можна виділити алгебраїчні поверхні (F (x, y, z) - поліном n-го ступеня і трансцендентні (F (x, y, z) - трансцендентна функція.

Якщо алгебраїчна поверхня описується рівнянням n-го ступеня, то поверхня вважається поверхнею n -го порядку. Довільно розташована січна площина перетинає поверхню по кривій того ж порядку (іноді розпадається або уявної), який має досліджувана поверхня. Порядок поверхні може бути визначений також числом точок її перетину з довільною прямою, що не належить цілком поверхні, вважаючи всі крапки (дійсні та уявні).

Поверхню можна розглядати, як сукупність послідовних положень l1, l2 ... лінії l переміщається в просторі за певним законом (Малюнок 7.1). В процесі утворення поверхні лінія l може залишатися незмінною або міняти свою форму - згинатися або деформуватися. Для наочності зображення поверхні на епюрі Монжа закон переміщення лінії l доцільно ставити графічно у вигляді однієї лінії або цілого сімейства ліній (m, n, p ...).

Рухливу лінію прийнято називати утворює (l i), нерухомі - направляючими (m). Такий спосіб утворення поверхні прийнято називати кинематическим.

Прикладом такого способу можуть служити всі технологічні процеси обробки металів ріжучої крайкою, коли поверхню виробу несе на собі «відбиток» ріжучої кромки різця, тобто її поверхню можна розглядати як безліч ліній конгруентних профілем різця.

Малюнок 7.1 - Кінематична поверхню

По виду утворює розрізняють поверхні лінійчатих і нелінійчатих, утворює перше - пряма лінія, друге - крива.

Лінійчаті поверхні в свою чергу поділяють на який розгортається, які можна без складок і розривів розгорнути на площину і неразвертивающіеся.

Значний клас поверхонь формується рухом окружності постійного або змінного радіуса. Такі поверхні звуться циклічні (Малюнок 7.2).

Малюнок 7.2 - Циклічна поверхня

Якщо групувати поверхні за законом руху утворює лінії, то більшість зустрічаються в техніці поверхонь можна розділити на:

• поверхні обертання;
• гвинтові поверхні;
• поверхні з площиною паралелізму;
• поверхні паралельного перенесення.

Особливе місце займають такі нелінійні поверхні, утворення яких, не підпорядковане ні яким законом. Оптимальну форму таких поверхонь визначають тими фізичними умовами, в яких вони працюють і встановлюють форму експериментально (поверхні лопатей турбін, обшивка каркасів морських суден і літаків).

Для графічного зображення поверхні на кресленні використовується її каркас.

Безліч ліній, що заповнюють поверхню так, що через кожну точку поверхні проходить в загальному випадку одна лінія цієї множини, називається каркасом поверхні.

Поверхня може бути задана і кінцевим безліччю точок, яке прийнято називати точковим каркасом.

Проекції каркаса можуть бути побудовані, якщо заданий визначник поверхні - сукупність умов, які задають поверхню в просторі і на кресленні.

Розрізняють дві частини визначника: геометричну і алгоритмічну.

Геометрична частина визначника є набором постійних геометричних елементів (точок, прямих, площин і т.п.), які можуть і не входити до складу поверхні.

Друга частина - алгоритмічна (описова) - містить перелік операцій, що дозволяє реалізувати перехід від фігури постійних елементів до безперервного каркасу.

Наприклад, циклічна поверхню, каркас якої складається з восьмиугольников (Малюнок 7.3), може бути заданий наступним чином:

• • Геометрична частина визначника: три напрямних l, m, n.

• Алгоритмічна частина: вибираємо площину α; знаходимо точки А, В, С, в яких α перетинає відповідно напрямні l, m, n. Будуємо восьмикутник, який визначається трьома знайденими точками. Переходимо до наступної площині і повторюємо побудова

Малюнок 7.3 -освіту циклічної поверхні

7.2. поверхні обертання

Поверхнями обертання називаються поверхні, отримані обертанням утворює навколо нерухомої осі (Малюнок 7.5).

Циліндрична і конічна поверхні нескінченні (тому що нескінченні утворюють); сферична, торів поверхні - кінцеві.

Сферична поверхня - окремий випадок торів поверхні. При обертанні кола навколо осей б, в, г (Рисунок 7.4, а) отримаємо торів поверхню (Рисунок 7.4, б), а навколо осі а - сферичну.

Рисунок 7.4 - Освіта поверхонь обертання

Малюнок 7.5 - Елементи поверхні обертання

Кожна точка утворюючої лінії при обертанні навколо осі описує коло, яка розташовується в площині, перпендикулярній осі обертання. Ці кола називаються паралелями (Малюнок 7.5).

Найменша паралель називається горлом, найбільша - екватором.

Лінія перетину поверхні обертання площиною, що проходить через вісь, називається меридіаном.

Лінія перетину поверхні обертання площиною, що проходить через вісь, паралельно фронтальній площині проекцій, називається головним меридіаном.

7.3. циліндрична поверхня

Циліндрична поверхня утворюється рухом прямої лінії, яка в будь-якому своєму становищі паралельна даним напрямком та перетинає криволинейную направляючу (Малюнок 7.6).

Циліндр - геометричне тіло, обмежене замкнутою циліндричною поверхнею і двома паралельними площинами, що перетинають всі утворюють даної поверхні.

Взаємно паралельні плоскі фігури, обмежені циліндричною поверхнею, називаються підставами циліндра.

Якщо нормальне перетин (площину перетину перпендикулярна утворюючим) має форму кола, то циліндрична поверхня називається круговою.

Якщо утворюють циліндричної поверхні перпендикулярні до підставах, то циліндр називається прямим, в іншому випадку - похилим.

Розглянемо проектування прямого кругового циліндра і належить йому точки F.

Домовимося, що фронтальна проекція точки F - невидима (Малюнок 7.6).

Малюнок 7.6 - Проектування циліндра на площині проекцій

Горизонтальна і профільна проекції точки F будуть видимі.

При визначенні видимості, що утворюють, які знаходяться на частини, зверненої до спостерігача і позначеної на π1 суцільний зеленої лінією - на площині проекції π2 видно, а які знаходяться на частини, позначеної товстої штриховий лінією - видно на π3.

Нехай точка А на π2 видима (Малюнок 7.7). Тоді на π1 вона буде видима, а на π3 невидима.

Малюнок 7.7 - Епюр прямого кругового циліндра і належних йому точок

7.4. Перетин прямої з поверхнею прямого кругового циліндра

Для побудови точок перетину прямої лінії з поверхнею прямого кругового циліндра не потрібно додаткових побудов. На горизонтальній площині проекцій точки перетину (1 і 2) знаходяться відразу. Фронтальні проекції будуємо по лініях зв'язку.

Але в загальному випадку, алгоритм вирішення розглянемо на наступній вправі.

Малюнок 7.8 - Перетин прямої з поверхнею прямого кругового циліндра

Вправа

Задані: прямий круговий циліндр з віссю обертання, перпендикулярній площині проекцій π1 і пряма а загального положення (Малюнок 7.8).

Побудувати точки перетину прямої а з поверхнею циліндра.

Рішення:

Для побудови точок перетину прямої з поверхнею циліндра необхідно:

1. Укласти пряму в допоміжну січну площину приватного положення σ (горизонтально-проецирующую).
2. Побудувати фігуру перетину поверхні циліндра горизонтально-проецирующей площиною: результат перетину - чотирикутник (на π2 умовно заштрихован).
3. Знайти точки «входу» і «виходу» прямий: на перетині її фронтальної проекції з фронтальними проекціями сторін чотирикутника (вони ж - проекції твірної циліндра);

Пряма а перетинається зі сторонами перетину в двох точках - 1 і 2.

Визначимо видимість ділянок прямої: очевидно, що між точками 1-2 пряма невидима, а на площині проекцій π2 буде ще невидимий ділянку прямої від точки 1 до лівій крайній утворює.

7.5. Перетин прямої з поверхнею похилого циліндра

Вправа

Задані: похилий кругової циліндр з віссю обертання, похилою до площини проекцій π1 і пряма m загального положення (Малюнок 7.9).

Побудувати точки перетину прямої m з поверхнею циліндра.
Рішення :

Для побудови точок перетину прямої з поверхнею циліндра необхідно:

Малюнок 7.9 - Перетин прямої з похилим циліндром

1. Укласти пряму m в допоміжну площину σ, що дає в перетині найбільш просту фігуру - чотирикутник (σ паралельна осі циліндра або створює). Цю площину задамо двома пересічними прямими m ∩ (1 M);
2. Побудувати горизонтальний слід площини σ (пряму перетину σ з площиною проекцій π1) як проходить через горизонтальні сліди прямих m і (1 M) (точки перетину прямих з площиною проекцій π1 (підстави)) - (MN);
3. Знайти точки перетину MN з окружністю підстави циліндра. Через ці точки провести утворюють r, за якими площину σ перетинає бічну поверхню циліндра:

\ Left. \ Begin {array} {l} r \ in \ sigma \\ r '\ in \ sigma \\ m \ in \ sigma \\\ end {array} \ right \} \ Longrightarrow m \ cap r = K ; \; m \ cap r '= L

На анімації нижче представлена ​​послідовність побудови точок перетину прямої з похилим циліндром.

7.6. сферична поверхня

Сферична поверхня - поверхня, утворена обертанням окружності навколо відрізка, що є її діаметром.

Кулею називається тіло, обмежене сферичної поверхнею.

Екватор - це коло, яка виходить перетином сфери горизонтальною площиною, що проходить через її центр (Малюнок 7.10).

Меридіан - це коло, яка виходить перетином сфери площиною, перпендикулярної площині екватора і проходить через центр сфери.

Паралелями називаються кола, які виходять перетином сфери площинами, паралельними площині екватора.

Малюнок 7.10 - Проектування сферичної поверхні

Прямокутна проекція кулі (сфери) на будь-яку площину - є окружність, яку часто називають нарисової.

Малюнок 7.11 - Епюр сфери і належать їй точок

Вправа

Задані: сферична поверхню трьома проекціями (Малюнок 7.11) і фронтальні проекції точок 1, 2, 3, 4.

Необхідно побудувати горизонтальні і профільні проекції заданих точок.

Рішення.

• Проаналізуємо їх розташування на поверхні сфери. Точки 1, 2, 3 лежать на нарисових утворюють сфери.
• Точка 1 належить головному меридіану (нарисової окружності на π2), проекція якого на π1 збігається з проекцією горизонтальній осі, на π3 - з проекцією вертикальної осі.
• Відсутні проекції точки 1 знаходимо за допомогою ліній проекційної зв'язку. Все проекції точки 1 видимі.
• Розглянемо положення точки 2. Точка 2 належить екватору (нарисової окружності на π1), проекції якого на π2 і π3 збігаються з проекцією горизонтальній осі. Горизонтальна проекція точки 2 будується за допомогою лінії проекційної зв'язку, для побудови профільної проекції необхідно виміряти відстань, зазначене дугою, і відкласти його по лінії зв'язку від точки О 3 вправо. Профільна проекція точки 2 невидима.
• Точка 3 належить нарисової окружності на π3, яка також є меридіаном, проекції якого на π2 і π1 збігаються з проекцією вертикальної осі. Профільна проекція точки будується за допомогою лінії проекційної зв'язку. Для побудови горизонтальної проекції точки 3 необхідно відстань, зазначене на π3 двома зарубками, відкласти на π1 вгору від точки Про 1. Горизонтальна і профільна проекції точки 3 видимі.
• Для побудови проекцій точки 4 необхідно ввести допоміжну січну площину (задамо площину σ // π1 і σ⊥π2). Площина σ перетинає поверхню сфери по колу радіусом r. На π1 будуємо дане перетин і по лінії проекційної зв'язку знаходимо 41. Для побудови профільної проекції необхідно відстань, зазначене засечкой, відкласти по лінії проекційної зв'язку на π3 вправо від осі. Все проекції точки 4 видимі.

7.7. Перетин прямої з поверхнею сфери

Вправа

Задані: сфера і пряма загального положення АВ.

Знайти: точки перетину прямої з поверхнею сфери (точки «входу» і «виходу»).

Щоб знайти точки перетину прямої з поверхнею сфери необхідно:

1. Укласти пряму в допоміжну площину, що перетинає поверхню сфери так, щоб виходили прості фігури (наприклад, коло, обмежений окружністю);
2. Побудувати фігуру перетину сфери допоміжної площиною;
3. Знайти спільні точки прямої і контуру фігури (коло): так як пряма і окружність лежать в одній площині, то вони, перетинаючись, утворюють точки, загальні для прямої і сфери, які і будуть шуканими точками (Малюнок 7.12).

Рішення

• Через пряму проводимо площину σ. Нехай σ⊥π1 і перетинає сферу по колу радіусом r. З - центр окружності перетину ОС ⊥σ:

\ Left. \ Begin {array} {l} \ sigma \ perp \ pi _1 \\ OC \ perp \ sigma \\\ end {array} \ right \} \ Longrightarrow OC \ parallel \ pi _1 \ Longrightarrow O_2C_2 \ parallel \ pi _2 / \ pi _1

Малюнок 7.12 - Перетин прямої з поверхнею сфери

• Введемо π3⊥π1 і π3 // σ1. Побудуємо проекцію кола перетину на π3 і проекцію А 3 В 3.
• Знаходимо точки їх перетину 12 і 23.
• Визначимо видимість ділянок прямий.
• На π1 точки 1 і 2 знаходяться на передньому півкулі, отже, на π2 вони видимі.

7.8. конічна поверхня

Конічна поверхня утворюється рухом прямої лінії (утворює), яка в будь-якому своєму становищі проходить через нерухому точку і перетинає криволинейную направляючу (має дві порожнини).

Тіло, обмежене замкнутою конічною поверхнею вершиною і площиною, називається конусом.

Плоска фігура, обмежена конічної поверхнею, називається підставою конуса.

Частина конічної поверхні, обмежена вершиною і підставою, називається бічною поверхнею конуса.

Якщо основа конуса є кругом, то конус називається круговим.

Якщо вершина конуса розташована на перпендикуляр до основи, відновленому з його центру, то конус називається прямим круговим.

Малюнок 7.13 - Належність точки конічної поверхні
Розглянемо питання приналежності точки А поверхні конуса.
Дана фронтальна проекція точки А і вона видимою (Малюнок 7.13).

1 спосіб. Для побудови ортогональних проекцій точки, розташованої на поверхні конуса, побудуємо проекції твірної, що проходить через дану точку. При такому положенні точки А все її проекції - видимі.

2 спосіб. Точка А лежить на паралелі конуса радіусом r. На π1 будуємо проекцію кола (паралелі) і по лінії проекційної зв'язку знаходимо А 1. За двох проекціях точки будуємо третю.

7.9. Перетин прямої з поверхнею конуса

Нехай заданий прямий круговий конус і пряма загального положення m (Малюнок 7.14). Знайти точки «входу» і «виходу» прямий з поверхнею конуса.

1. Через пряму m проводимо допоміжну січну площину σ, що дає в перетині найбільш просту фігуру.
2. Застосування в якості допоміжної січної площини проецирующей площині в даному випадку недоцільно, так як в перерізі вийде крива другого порядку, яку потрібно будувати по точкам.

Найбільш проста фігура - трикутник. Для цього січна площина σ повинна пройти через вершину S. Площина задамо за допомогою двох пересічних прямих σ = SM∩ MN або, що, те ж саме, (σ = SM∩ m).

1. Візьмемо на прямій m точку А і з'єднаємо її з вершиною. Пряма SA перетне площину підстави в точці М.
2. Побудуємо горизонтальні проекції цих об'єктів.
3. Продовжимо фронтальну проекцію прямої m до перетину з площиною основи в точці N.

Малюнок 7.14 - Побудова точок перетину прямої з поверхнею конуса

1. Побудуємо її горизонтальну проекцію.
2. З'єднаємо точки M 1 N 1, на перетині з окружністю підстави отримаємо точки 1 і 2.
3. Будуємо трикутник перетину конуса площиною σ, з'єднавши точки 1 і 2 з вершиною S.
4. На перетині утворюють 1 S і 2 S з прямою m отримаємо шукані точки K і L.
5. Визначимо видимість прямої відносно поверхні конуса.

На анімації нижче представлена ​​послідовність побудови точок перетину прямої з поверхнею конуса.

7.10. Перетин циліндра площиною

Нехай площину перетину γ - фронтально-проектує (Малюнок 7.15).

1. Если площинах перетин γ паралельна осі циліндра, то вона перетінає циліндр по чотірікутніку.
2. Если площинах перетин γ перпендикулярна осі циліндра, то вона перетінає циліндр по колу.
3. Якщо площину перетину γ не паралельна і не перпендикулярна осі циліндра в перерізі еліпс.

Розглянемо алгоритм побудови перетину - еліпс (Малюнок 7.15):

Малюнок 7.15 - перетин циліндра площиною

1. Знаходимо і будуємо характерні точки (точки, які не потребують додаткових побудов) - в нашому випадку, точки належать крайнім утворюючим - 1, 3, 5, 7. Одночасно з цим, дані точки визначають величину великої і малої осі еліпса.
2. Для побудови ділянки еліпса необхідно побудувати не менше 5-ти точок (так як лекальна крива другого порядку визначається як мінімум п'ятьма точками). Для побудови точок 2, 4, 6, 8 візьмемо на π1 довільно розташовані утворюють циліндра, які проектуються на дану площину проекції в точки.
3. Побудуємо другі проекції даних утворюють. З точок перетину друге проекцій утворюють з проекцією площини перетину γ проводимо лінії зв'язку до π3. Для побудови третьої проекції, наприклад, точки 6 вимірюємо відстань Δ1 і відкладаємо його за відповідною лінії зв'язку на π3. Симетрично їй, щодо осі обертання, будуємо точку 4. Аналогічно будуються інші точки.

7.11. Перетин сфери площиною

Площина перетинає поверхню сфери завжди по колу. Завдання перетину площині зі сферою ми розглядали при вирішенні завдання побудови точок перетину прямої з поверхнею сфери (див. Вище).

7.12. Перетин конуса площиною

Розглянемо п'ять можливих варіантів розташування площині відносно поверхні прямого кругового конуса. Нехай площину перетину перпендикулярна площині проекцій π2 (Малюнок 7.16).

малюнок 7.16

1. Якщо площина проходить через вершину (1) - в перерізі дві що утворюють і пряма перетину з площиною основи.
2. Якщо площина перпендикулярна осі обертання конуса (2) - в перерізі коло.
3. Якщо площину не паралельна жодної утворює (перетинає всі утворюють (3)) - в перерізі еліпс.
4. Якщо площина паралельна одній що утворює конуса - в перерізі парабола (на прикладі - площину перетину (4) паралельна крайней утворює конуса).
5. Якщо площина паралельна двом утворюючим (перетинає обидві порожнини конічної поверхні (5)) - в перерізі гіпербола (рисунок 7.17).

Малюнок 7.17. Площина перерізу паралельна двом утворюючим конуса

Нижче, на моделях, представлені варіанти положення січної площини відносно поверхні конуса, при яких виходять перетину у вигляді еліпса, параболи і гіперболи.

Малюнок 7.18 - Перетин конічної поверхні площиною (а - еліпс, б - парабола, в - гіпербола)

Розглянемо приклад побудови перетину конічної поверхні площиною.

Малюнок 7.19 - Побудова перетину конічної поверхні площиною

Нехай задана січна проектує площину σ⊥π2 (Малюнок 7.19). Якщо продовжити конічну поверхню і проекцію площини, то видно, що площина перетинає другу гілку конічної поверхні, отже, в перерізі вийде гіпербола.

1. Побудуємо характерні точки. Це точки, що лежать на крайніх утворюють і на окружності підстави конуса (1, 2, 3). Їх проекції будуються по лініях проекційної зв'язку.
2. Для побудови проміжних точок, скористаємося методом допоміжних січних площин. Введемо площину α⊥π2 і перпендикулярно осі обертання, що дасть в перерізі коло радіусом r. Будуємо цю окружність на π1. Площина α перетинає і задану площину перетину по прямій, проекції якої на π1 і π3 збігаються з лініями проекційної зв'язку.
3. На перетині цих двох перетинів на площині проекцій π1 будуємо точки 4, 5. Профільні проекції цих точок будуємо по лінії проекційної зв'язку, відкладаючи відстань від осі обертання конуса, що дорівнює Δ.
4. Аналогічно будуємо точки 6, 7. Плавно з'єднаємо побудовані точки, утворюючи гіперболу.
5. Обведём то, що залишилося від конуса після такого зрізу з визначенням видимості. У нашому прикладі всі проекції побудованої кривої будуть видимі.

На анімації нижче представлена ​​послідовність побудови перетину конічної поверхні площиною.

7.13. Завдання для самостійної роботи

1. Добудувати проекції сфери з заданим виразом (Малюнок 7.20).

малюнок 7.20
2-3. Побудувати три проекції конуса з призматичним отвором (Малюнки 7.21, 7.22).

малюнок 7.21

малюнок 7.22
4. Побудувати точки «входу» і «виходу» прямий при перетині її з поверхнею півсфери (Малюнок 7.23).

малюнок 7.23

З вопросам репетиторства з нарісної геометрії, ви можете зв'язати будь-Якім Зручне способом в розділі Контакти . Можливо очне та дистанційне навчання по Skype: 1000 р. / Ак.ч.