картографічні проекції

Картограф і етичні про е кції, відображення всієї поверхні земного еліпсоїда або будь-яку її частини на площину, одержувані в основному з метою побудови карти.

Масштаб. К. п. Будуються в певному масштабі. Зменшуючи подумки земний еліпсоїд в М разів, наприклад в 10 000 000 разів, отримують його геометричну модель - глобус , Зображення якого вже в натуральну величину на площині дає карту поверхні цього еліпсоїда. Величина 1: М (в прикладі 1: 10 000 000) визначає головний, або загальний, масштаб карти. Т. к. Поверхні еліпсоїда і кулі не можуть бути розгорнуті на площину без розривів і складок (вони не належать до класу розгортаються поверхонь ), Будь-який К. п. Властиві спотворення довжин ліній, кутів і т.п., властиві кожній карті. Основною характеристикою К. п. В будь-який її точці є приватний масштаб m. Це - величина, зворотна відношенню нескінченно малого відрізка ds на земному еліпсоїді до його зображенню ds на площині: причому m залежить від положення точки на еліпсоїді і від напрямку обраного відрізка. Ясно, що mmin £ m £ m max, і рівність тут можливо лише в окремих точках або уздовж деяких ліній на карті. Т. о., Головний масштаб карти характеризує її тільки в загальних рисах, в деякому осредненних вигляді. Ставлення m / М називають відносним масштабом, або збільшенням довжини, різниця спотворенням довжини. При аналізі властивостей К. п. Можна не брати до уваги головний масштаб; чисельне значення його враховується лише при обчисленнях координат точок К. п. Тому часто, наприклад в теорії спотворень, вважають М = 1.

Загальні відомості. Теорія К. п. - математична картографія - має на меті вивчення всіх видів спотворень відображень поверхні земного еліпсоїда на площину і розробку методів побудови таких проекцій, в яких спотворення мали б або найменші (в будь-якому сенсі) значення або заздалегідь заданий розподіл.

Виходячи з потреб картографії , В теорії К. п. Розглядають відображення поверхні земного еліпсоїда на площину. Т. к. Земний еліпсоїд має мале стиснення, і його поверхня трохи відступає від сфери, а також у зв'язку з тим, що К. п. Необхідні для складання карт в середніх і дрібних масштабах (М> 1 000 000), то часто обмежуються розглядом відображень на площину сфери деякого радіусу R, відхиленнями якої від еліпсоїда можна знехтувати або будь-яким способом врахувати. Тому далі маються на увазі відображення на площину хОу сфери, віднесеної до географічних координат j (широта) і l (довгота).

Рівняння будь-якої К. п. Мають вигляд

x = f1 (j, l), y = f2 (j, l), (1)

де f 1 і f 2 - функції, що задовольняють деяким загальним умовам. Зображення меридіанів l = const і паралелей j = const в даній К. п. Утворюють картографічну сітку. К. п. Може бути визначена також двома рівняннями, в яких фігурують не прямокутні координати х, у площині, а будь-які інші. Деякі К. п. [Наприклад, перспективні проекції (зокрема, ортографической, рис. 2) перспективно-циліндричні (рис. 7) і ін.] можна визначити геометричними побудовами. К. п. Визначають також правилом побудови відповідної їй картографічної сітки або такими її характеристичними властивостями, з яких можуть бути отримані рівняння виду (1), що повністю визначають проекцію.

Короткі історичні відомості. Розвиток теорії К. п., Як і всієї картографії, тісно пов'язане з розвитком геодезії, астрономії, географії, математики. Наукові основи картографії були закладені в Стародавній Греції (6-1 ст. До н. Е.). Найдавнішою К. п. Вважається гномоніческой проекція , Застосована Фалесом Милетским до побудови карт зоряного неба. Після встановлення в 3 ст. до н. е. кулястості Землі К. п. стали винаходити і використовуватися при складанні географічних карт ( Гіппарх , Птолемей та ін.). Значний підйом картографії в 16 ст., Викликаний Великими географічними відкриттями, привів до створення ряду нових проекцій; одна з них, запропонована Г. Меркатором , Використовується і в даний час (див. Меркатора проекція ). У 17-18 вв., Коли широка організація топографічних зйомок стала поставляти достовірний матеріал для складання карт на значній території, К. п. Розроблялися як основа для топографічних карт (французький картограф Р. Бонн, Дж. Д. Кассіні ), А також виконувалися дослідження окремих найбільш важливих груп К. п. (І. Ламберт , Л. Ейлер , Ж. Лагранж та ін.). Розвиток військової картографії і подальше збільшення обсягу топографічних робіт в 19 ст. зажадали забезпечення математичної основи великомасштабних карт і введення системи прямокутних координат на базі, більш придатної К. п. Це призвело К. Гаусса до розробки фундаментальної геодезичної проекції . Нарешті, в середині 19 ст. А. Тіссо (Франція) дав загальну теорію спотворень К. п. Розвиток теорії К. п. В Росії було тісно пов'язане з запитами практики і дало багато оригінальних результатів (Л. Ейлер, Ф. І. Шуберт , П. Л. Чебишев , Д. А. Граве та ін.). У працях радянських картографів В. В. каврайського , Н. А. Урмаева і ін. розроблені нові групи К. і., окремі їх варіанти (до стадії практичного використання), важливі питання загальної теорії К. п., класифікації їх і ін.

Теорія спотворень. Спотворення в нескінченно малої області близько будь-якої точки проекції підкоряються деяким загальним законам. У всякій точці карти в проекції, яка не є рівнокутної (див. Нижче), існують два таких взаємно перпендикулярних напрямки, яким на відображається поверхні відповідають також взаємно перпендикулярні напрямку, це - так звані головні напрямки відображення. Масштаби по цих напрямках (головні масштаби) мають екстремальні значення: mmax = а і mmin = b. Якщо в будь-якої проекції меридіани і паралелі на карті перетинаються під прямим кутом, то їх напрямки і є головні для даної проекції. Спотворення довжини в даній точці проекції наочно представляє еліпс спотворень, подібний і подібно розташований зображенню нескінченно малої кола, описаного навколо відповідної точки відображається поверхні. Полудіаметри цього еліпса чисельно рівні приватним масштабам в даній точці у відповідних напрямках, півосі еліпса рівні екстремальним масштабам, а напрями їх - головні.

Зв'язок між елементами еліпса спотворень, спотвореннями К. п. І приватними похідними функцій (1) встановлюється основними формулами теорії спотворень.

Класифікація картографічних проекцій за положенням полюса використовуваних сферичних координат. Полюси сфери суть особливі точки географічної координації, хоча сфера в цих точках не має будь-яких особливостей. Значить, при картографуванні областей, що містять географічні полюси, бажано інколи застосовувати не географічні координати, а інші, в яких полюси виявляються звичайними точками координації. Тому на сфері використовують сферичні координати, координатні лінії яких, так звані вертикаль (умовна довгота на них а = const) і альмукантарати (де полярні відстані z = const), аналогічні географічним меридіанах і паралелях, але їх полюс Z0 не збігається з географічним полюсом P0 (рис. 1). Перехід від географічних координат j, l будь-якої точки сфери до її сферичних координат z, a при заданому положенні полюса Z0 (j0, l 0) здійснюється за формулами сферичної тригонометрії. Будь К. п., Дана рівняннями (1), називається нормальною, або прямій (j 0 = p / 2). Якщо та ж сама проекція сфери обчислюється за тими ж формулами (1), в яких замість j, l фігурують z, a, то ця проекція називається поперечною при j0 = 0, l0 і косою, якщо 0 <j 0 <p / 2. Застосування косих і поперечних проекцій приводить до зменшення спотворень. На рис. 2 показана нормальна (а), поперечна (б) і коса (в) ортографической проекції сфери (поверхні кулі).

Класифікація картографічних проекцій за характером спотворень. У рівнокутних (конформних) К. п. Масштаб залежить тільки від положення точки і не залежить від напрямку. Еліпси спотворень вироджуються в окружності. Приклади - проекція Меркатор, стереографічна проекція .

У рівновеликих (еквівалентних) К. п. Зберігаються площі; точніше, площі фігур на картах, складених в таких проекціях, пропорційні площам відповідних фігур в натурі, причому коефіцієнт пропорційності - величина, зворотна квадрату головного масштабу карти. Еліпси спотворень завжди мають однакову площу, розрізняючи формою і орієнтуванням.

Довільні К. п. Не належать ні до Рівнокутні, ні до рівновеликих. З них виділяють равнопромежуточние, в яких один з головних масштабів дорівнює одиниці, і ортодроміческое, в яких великі кола кулі (ортодромії) зображуються прямими.

При зображенні сфери на площині властивості Рівнокутні, равновеликости, равнопромежуточності і ортодромічності несумісні. Для показу спотворень в різних місцях зображуваної області застосовують: а) еліпси спотворень, побудовані в різних місцях сітки або ескізу карти (рис. 3); б) Ізокол, т. е. лінії рівного значення спотворень (на рис. 8в см. Ізокол найбільшого спотворення кутів з і Ізокол масштабу площ р); в) зображення в деяких місцях карти деяких сферичних ліній, зазвичай ортодромії (О) і локсодромії (Л), див. рис. 3а, 3б і ін.

Класифікація нормальних картографічних проекцій по виду зображень меридіанів і паралелей, що є результатом історичного розвитку теорії К. п., Обіймає більшість відомих проекцій. У ній збереглися найменування, пов'язані з геометричним методом отримання проекцій, проте розглядаються їх групи тепер визначають аналітично.

Циліндричні проекції (рис. 3) - проекції, в яких меридіани зображуються рівновіддаленими паралельними прямими, а паралелі - прямими, перпендикулярними до зображень меридіанів. Вигідні для зображення територій, витягнутих уздовж екватора або будь-які паралелі. В навігації використовується проекція Меркатора - рівнокутна циліндрична проекція. Проекція Гаусса - Крюгера - рівнокутна поперечно-циліндрична К. п. - застосовується при складанні топографічних карт і обробці тріангуляцій.

Конічні проекції (рис. 4) - проекції, в яких паралелі зображаються концентричними колами, меридіани - ортогональними їм прямими. У цих проекціях спотворення не залежать від довготи. Особливо придатні для територій, витягнутих уздовж паралелей. Карти всієї території СРСР часто складаються в рівнокутних і равнопромежуточних конічних проекціях. Використовуються також як геодезичні проекції .

Азимутальні проекції (рис. 5) - проекції, в яких паралелі - концентричні кола, меридіани - їх радіуси, при цьому кути між останніми дорівнюють відповідним різницям довгот. Окремим випадком азимутальних проекцій є перспективні проекції.

Псевдоконіческіе проекції (рис. 6) - проекції, в яких паралелі зображаються концентричними колами, середній меридіан - прямою лінією, інші меридіани - кривими. Часто застосовується рівновелика псевдоконіческая проекція Бонна; в ній з 1847 складалася трёхвёрстная (1: 126 000) карта Європейської частини Росії.

Псевдоціліндріческіе проекції (рис. 8) - проекції, в яких паралелі зображаються паралельними прямими, середній меридіан - прямою лінією, перпендикулярної цим прямим і віссю симетрії проекцій, інші меридіани - кривими.

Поліконічній проекції (рис. 9) - проекції, в яких паралелі зображаються колами з центрами, розташованими на одній прямій, яка зображує середній меридіан. При побудові конкретних поліконічній проекцій ставляться додаткові умови. Одна з поліконічній проекцій рекомендована для міжнародної (1: 1 000 000) карти.

Існує багато проекцій, що не відносяться до вказаних видів. Циліндричні, конічні і азимутальні проекції, звані найпростішими, часто відносять до кругових проекцій в широкому сенсі, виділяючи з них кругові проекції у вузькому сенсі - проекції, в яких всі меридіани і паралелі зображаються колами, наприклад конформні проекції Лагранжа, проекція Грінт і ін.

Використання і вибір картографічних проекцій залежать головним чином від призначення карти і її масштабу, якими часто обумовлюється характер допускаються спотворень в обирається К. п. Карти великих і середніх масштабів, призначені для вирішення метричних задач, зазвичай складають в рівнокутних проекціях, а карти дрібних масштабів, використовувані для загальних оглядів і визначення співвідношення площ будь-яких територій - в рівновеликих. При цьому можливо деяке порушення визначальних умов цих проекцій (w º 0 або р º 1), що не приводить до відчутних погрішностей, т. Е. Допустимо вибір довільних проекцій, з яких частіше застосовують проекції равнопромежуточние по меридіанах. До останніх вдаються і тоді, коли призначенням карти взагалі не передбачено збереження кутів або площ. При виборі К. п. Починають з найпростіших, потім переходять до більш складним проекція, навіть, можливо, модифікуючи їх. Якщо жодна з відомих К. п. Не задовольняє вимогам, що пред'являються до карті, що з боку її призначення, то вишукують нову, найбільш підходящу К. п., Намагаючись (наскільки це можливо) зменшити спотворення в ній. Проблема побудови найвигідніших К. п., В яких спотворення в будь-якому сенсі зведені до мінімуму, повністю ще не вирішена.

К. п. Використовуються також в навігації, астрономії, кристалографії і ін .; їх вишукують для цілей картографування Місяця, планет і ін. небесних тіл.

Перетворення проекцій. Розглядаючи дві К. п., Задані відповідними системами рівнянь: x = f1 (j, l), y = f2 (j, l) і X = g1 (j, l), Y = g2 (j, l), можна, виключаючи з цих рівнянні j і l, встановити перехід від однієї з них до іншої:

Х = F1 (x, у), Y = F2 (x, у).

Ці формули при конкретизації виду функцій F 1, F 2, по-перше, дають загальний метод отримання так званих похідних проекцій; по-друге, становлять теоретичну основу всіляких способів технічних прийомів складання карт (див. Географічні карти ). Наприклад, аффінниє і дрібно-лінійні перетворення здійснюються за допомогою картографічних трансформаторів .Однак більш загальні перетворення вимагають застосування нової, зокрема електронної, техніки. Завдання створення досконалих трансформаторів К. п. - актуальна проблема сучасної картографії.

Літ .: Вітковський В., Картографія. (Теорія картографічних проекцій), СПБ. 1907 Каврайський В. В., Математична картографія, М. - Л., 1934; його ж, Избр. праці, т. 2, ст. 1-3, [М.], 1958-60; Урман Н. А., Математична картографія, М., 1941; його ж, Методи пошуку нових картографічних проекцій, М., 1947; Граур А. В., Математична картографія, 2 вид., Л., 1956; Гінзбург Г. А., Картографічні проекції, М., 1951; Мещеряков Г. А., Теоретичні основи математичної картографії, М., 1968.

Г. А. Мещеряков.